18、二叉搜索树的实现与分析

二叉搜索树的实现与分析

1. AVL树的平衡与旋转

1.1 AVL树的平衡概念

AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，当根节点的平衡因子为0时，该树被认为是平衡的。通过保持其子树接近平衡，AVL树整体上能保持近似平衡。

1.2 插入节点后的操作

在AVL树中插入节点时，基本的搜索和插入方式与普通二叉搜索树相同。但插入节点到合适位置后，需要做额外工作：
- 考虑插入操作导致的平衡因子变化。
- 若任何节点的平衡因子变为 ±2，则需从该节点开始向下重新平衡树，这通过旋转操作实现。

1.3 旋转操作

旋转操作通过重新排列节点来重新平衡AVL树的部分结构，同时保持左子节点小于父节点，父节点小于右子节点的关系，以确保树仍然是二叉搜索树。旋转后，旋转子树中所有节点的平衡因子为 +1、 -1 或 0。

旋转操作有四种类型：
- LL（左 - 左）旋转 ：当新插入节点 x 位于节点 A 的左子树的左子树中时执行。设 left 为 A 的左子节点，操作步骤如下：
1. 将 A 的左指针指向 left 的右子节点。
2. 将 left 的右指针指向 A。
3. 将引用 A 的指针指向 left。
4. 将 A 和 left 的平衡因子都设为 0。

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