「LOJ2267」「SDOI2017Round2」龙与地下城

最新推荐文章于 2024-08-22 08:05:48 发布

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本文介绍了一种游戏战斗模拟中的概率计算方法，利用中心极限定理和正态分布近似求解角色攻击命中和伤害值的概率问题。针对不同情况采用精确计算与近似计算两种策略。

题目描述

小 Q 同学是一个热爱学习的人，但是他最近沉迷于各种游戏，龙与地下城就是其中之一。在这个游戏中，很多场合需要通过掷骰子来产生随机数，并由此决定角色未来的命运，因此骰子堪称该游戏的标志性道具。

骰子也分为许多种类，比如 4 面骰、6 面骰、8 面骰、12 面骰、20 面骰，其中 20 面骰用到的机会非常多。当然，现在科技发达，可以用一个随机数生成器来取代真实的骰子，所以这里认为骰子就是一个随机数生成器。

在战斗中，骰子主要用来决定角色的攻击是否命中，以及命中后造成的伤害值。举个例子，假设现在已经确定能够命中敌人，那么 $YdX$ （也就是掷出 $Y$ 个 $X$ 面骰子之后所有骰子显示的数字之和）就是对敌人的基础伤害。在敌人没有防御的情况下，这个基础伤害就是真实伤害。

众所周知，骰子显示每个数的概率应该是相等的，也就是说，对于一个 $X$ 面骰子，显示
$0 , 1 , 2 \dots X-1$ 中每一个数字的概率都是 $\frac 1 X$ 。

更形式地说，这个骰子显示的数 $W$ 满足离散的均匀分布，其分布列为

$W$	$0$	$1$	$2$	$\dots$	$X - 1$
$P$	$\frac 1X$	$\frac 1 X$	$\frac 1 X$	$\dots$	$\frac 1 X$

除此之外还有一些性质

$W$ 的一阶原点矩（期望）为

v 1 (W) = E (W) = \sum i = 0 X - 1 i P (W = i) = X - 1 2

$v_1(W) = E(W) = \sum ^{X-1} _{i=0} iP(W=i) = \frac{X-1}{2}$

W W $W$ 的二阶中心矩（方差）为

μ 2 (W) = E ((W - E (W)) 2) = \sum i = 0 X - 1 (i - E (W)) 2 P (W = i) = X 2 - 1 12

$\mu_2(W) = E((W-E(W))^2) = \sum ^{X-1}_{i=0}(i-E(W))^2P(W=i) = \frac{X^2-1}{12}$

言归正传，现在小 Q 同学面对着一个生命值为

A A $A$ 的没有防御的敌人，能够发动一次必中的

YdX Y d X $YdX$ 攻击，显然只有造成的伤害不少于敌人的生命值才能打倒敌人。但是另一方面，小 Q 同学作为强迫症患者，不希望出现 overkill，也就是造成的伤害大于

B B $B$ 的情况，因此只有在打倒敌人并且不发生 overkill 的情况下小 Q 同学才会认为取得了属于他的胜利。
因为小 Q 同学非常谨慎，他会进行 10 次模拟战，每次给出敌人的生命值

A A $A$ 以及 overkill 的标准

B B $B$ ，他想知道此时取得属于他的胜利的概率是多少，你能帮帮他吗？

输入格式

第一行是一个正整数 $T$ ，表示测试数据的组数。
对于每组测试数据，第一行是两个整数 $X$ 、 $Y$ ，分别表示骰子的面数以及骰子的个数。
接下来 $10$ 行，每行包含两个整数 $A$ 、 $B$ ，分别表示敌人的生命值 $A$ 以及 overkill 的标准 $B$ 。

输出格式

对于每组测试数据，输出 $10$ 行，对每个询问输出一个实数，要求绝对误差不超过 $0.013579$ ，也就是说，记输出为 $a$ ，答案为 $b$ ，若满足 $|a-b| \leq 0.013579$ ，则认为输出是正确的。

样例

样例输入

样例输出

数据范围与提示

对于 $100\%$ 的数据， $T \leq 10$ ， $2 \leq X \leq 20$ ， $1 \leq Y \leq 200000$ ， $0 \leq A \leq B \leq (X-1)Y$ ，保证满足 $Y > 800$ 的数据不超过 $2$ 组。

题解

应用中心极限定理。中心极限定理 - 维基百科

设随机变量 $X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}$ 独立同分布，且具有有限的数学期望和方差 $E(X_{i})=\mu$ ， $D(X_{i})=\sigma ^{2}\neq 0(i=1,2,\cdots ,n)$ 。记
${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ ， $\zeta _{n}={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$ ，则 $\lim _{n\rightarrow \infty }P\left(\zeta _{n}\leq z\right)=\Phi \left(z\right)$ 。
其中 $\Phi (z)$ 是标准正态分布的分布函数。

这个定理的含义是： $n$ 个独立同分布，且具有有限的数学期望 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 的随机变量，他们的平均值的分布函数在 $n \rightarrow \infty$ 时无限近似于期望为 $\mu$ ，方差为 $\frac {\sigma^2} {\sqrt{n}}$ 的正态分布。

考虑到题目要求的精度误差十分宽松，我们考虑在 $Y$ 比较大的时候用正态分布函数的积分来近似答案。

由于正态分布函数的概率密度函数

Φ (x) = 1 σ 2 π - - \sqrt e - ( x - μ ) 2 2 σ 2

$\Phi(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{- {{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}}$
的不定积分不是初等函数，所以考虑自适应辛普森积分。函数是光滑的，所以误差很小。

有一点需要注意：由于峰比较窄，积分区间比较大的时候可能出现 $l, \frac{3l + r}{4},\frac{l + r}{2},\frac{l + 3r}{4},r$ 五处的函数值都几乎为零，但是峰在积分区间内的情况，这会导致答案错误。一种方法是分成若干个小的区间分别进行辛普森积分，第二种方式是只计算 $[A, B] \cap [\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$ 的积分（因为正态分布函数在 $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$ 外的比率只占不到 $0.3 \%$ ，可以忽略不计）, 还有一种方法是直接使用误差函数 $\mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^xe^{-t^2}\mathrm{d}t$ 直接计算（需要C++11）。

My Code

#include <bits/stdc++.h>
#define pi acos(-1)
#define eps 1e-15

using namespace std;
int n, m;
double f[2][32005], g[2][32005];
void solve1(){
    int p = 0, q = 1;
    f[p][0] = 1; g[p][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        for(int j = 0; j <= (m - 1) * i; j ++){
            double tmp = g[p][min(j, (m - 1) * (i - 1))]; if(j >= m) tmp -= g[p][j - m];
            f[q][j] = tmp / m; g[q][j] = f[q][j]; if(j > 0) g[q][j] += g[q][j - 1];
        //  printf("%d %d %.6lf\n", i, j, f[q][j]);
        }
        swap(p, q);
    }
    for(int i = 1; i <= 10; i ++){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        double ans = g[p][b]; if(a != 0) ans -= g[p][a - 1];
        printf("%.6lf\n", ans); 
    }
}
double mu, sigma, pi2;
inline double sqr(double x) {return x * x;}
inline double F(double x){
//  printf("%.10lf %.10lf\n", x, exp(-sqr(x - mu) / 2 / sqr(sigma)) / pi2 / sigma);
    return exp(-sqr(x - mu) / 2 / sqr(sigma)) / pi2 / sigma;
}
double cal(double l, double r){
    double mid = (l + r) / 2;
    return (r - l) / 6 * (F(l) + 4 * F(mid) + F(r));
}
double simpson(double l, double r, double cur){
    double mid = (l + r) / 2;
    double cl = cal(l, mid);
    double cr = cal(mid, r);
//  printf("%.11lf %.11lf %.11lf %.11lf %.11lf %.11lf\n", l, r, cl, cr, cur, fabs(cur - cl - cr));
    if(fabs(cur - cl - cr) < eps) return cur;
    return simpson(l, mid, cl) + simpson(mid, r, cr);
}

void solve2(){
    mu = 1.0 * (m - 1) / 2.0 * n;
    sigma = sqrt(n * 1.0 * (m * m - 1.0) / 12.0);
    //printf("%.6lf %.6lf\n", mu, sigma);
    pi2 = sqrt(2.0 * pi);
        for(int i = 1; i <= 10; i ++){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        double l = max((double)a, mu - 3 * sigma);
        double r = min((double)b, mu + 3 * sigma); 
        double ans = 0;
        if(l < r) ans = simpson(l, r, cal(l, r));
        printf("%.6lf\n", ans);
    }
}
int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%d%d", &m, &n);
        if(n <= 1600){
            solve1();
        }else{
            solve2();
        } 
    }   
    return 0;
}