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分类专栏：计算几何模板库~

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计算几何

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本文介绍了一种处理二维几何运算的算法，通过线性扫描的方式进行多边形交集计算，利用向量和直线结构实现了高效的点、线、多边形操作。文章详细解释了向量加减乘法运算、点积与叉积计算，以及如何求解两直线交点。此外，还提供了两种不同复杂度的算法实现：O(n^2) 和 O(nlog_2^n)，适用于不同场景下的多边形交集查找。

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$O(n^2):$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define db double
const db eps=1e-8;
struct vec{
	db x,y;
	vec(){}
	vec(db a,db b)
	{x=a,y=b;}
};
vec operator+(vec a,vec b)
{return vec(a.x+b.x,a.y+b.y);}
vec operator-(vec a,vec b)
{return vec(a.x-b.x,a.y-b.y);}
vec operator*(vec a,db b)
{return vec(a.x*b,a.y*b);}
db operator*(vec a,vec b)
{return a.x*b.x+a.y*b.y;}
db operator^(vec a,vec b)
{return a.x*b.y-a.y*b.x;}
struct lin{
	vec p,v;
	lin(){}
	lin(vec a,vec b)
	{p=a,v=b;}
};
vec X(lin a,lin b)
{
	db k=((a.p-b.p)^a.v)/(b.v^a.v);
	return b.p+b.v*k;
}
int N=4;
const int Q=11111;
vec ans[Q],t[Q];
#define Ch(a,b,c) ((a-b)^c)
void Ins(lin a)
{
	for(int i=1;i<=N;i++)
		t[i]=ans[i];
	int tp=N;
	t[N+1]=t[1],t[0]=t[N];
	N=0;
	for(int i=1;i<=tp;i++)
		if(Ch(t[i],a.p,a.v)>eps){
			if(Ch(t[i-1],a.p,a.v)<-
			eps)ans[++N]=X(a,lin(t[i-1],t[i]-t[i-1]));
			if(Ch(t[i+1],a.p,a.v)<-eps)ans[++N]=X(a,lin(t[i+1],t[i]-t[i+1]));
		}
		else ans[++N]=t[i];
}
int main()
{
	int n;
	ans[1]=vec(1e10,1e10);
	ans[2]=vec(-1e10,1e10);
	ans[3]=vec(-1e10,-1e10);
	ans[4]=vec(1e10,-1e10);
	scanf("%d",&n);
	vec p,q;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lf%lf%lf%lf",&p.x,&p.y,&q.x,&q.y);
		Ins(lin(p,q-p));
	}
	printf("%d\n",N);
	for(int i=1;i<=N;i++)
		printf("%.2lf %.2lf\n",ans[i].x,ans[i].y);
	return 0;
}
/*
6
-2 0
-1 -2

-1 -2
1 -2

1 -2
2 0

2 0
1 2

1 2
-1 2

-1 2
-2 0


4
0 -3
1 -1

1 -1
2 2

2 2
-1 0

-1 0
0 -3


4
0 0
1 0

1 0
0 1

0 1
0 0

1 0
1 1
*/

$O(nlog_2^n):$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define db double
const db eps=1e-8;
struct vec{
	db x,y;
	vec(){}
	vec(db a,db b)
	{x=a,y=b;}
};
vec operator+(vec a,vec b)
{return vec(a.x+b.x,a.y+b.y);}
vec operator-(vec a,vec b)
{return vec(a.x-b.x,a.y-b.y);}
vec operator*(vec a,db b)
{return vec(a.x*b,a.y*b);}
db operator*(vec a,vec b)
{return a.x*b.x+a.y*b.y;}
db operator^(vec a,vec b)
{return a.x*b.y-a.y*b.x;}
struct lin{
	vec p,v;
	db ang;
	lin(){}
	lin(vec a,vec b)
	{p=a,v=b;}
};
vec X(lin a,lin b)
{
	db k=((a.p-b.p)^a.v)/(b.v^a.v);
	return b.p+b.v*k;
}
const int Q=211111;
int hd=1,tl=1;
lin q[Q],a[Q];
bool cmp(lin a,lin b)
{
	if(a.ang==b.ang)return ((a.p-b.p)^b.v)<eps;
	return a.ang<b.ang;
}
bool GG(lin a,vec b)
{
	return ((b-a.p)^a.v)>eps;
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	vec pp,qq;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lf%lf%lf%lf",&pp.x,&pp.y,&qq.x,&qq.y);
		a[i]=lin(pp,qq-pp);a[i].ang=atan2(a[i].v.y,a[i].v.x);
	}
	hd=tl=1;
	sort(a+1,a+n+1,cmp);
	int tp=n;
	n=0;
	for(int i=1;i<=tp;i++)
		if(i==1||a[i].ang>a[n].ang)a[++n]=a[i];
	q[1]=a[1];
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		while(hd<tl&&GG(a[i],X(q[hd],q[hd+1])))++hd;
		while(hd<tl&&GG(a[i],X(q[tl],q[tl-1])))--tl;
		q[++tl]=a[i];
	}
	while(hd<tl&&GG(q[hd],X(q[tl],q[tl-1])))--tl;
	q[tl+1]=q[hd];
	printf("%d\n",tl-hd+1);
	for(int i=hd;i<=tl;i++){
		vec now=X(q[i],q[i+1]);
		printf("%.2lf %.2lf\n",now.x,now.y);
	}
	return 0;
}