【2016 泉市教科】保险箱

保险箱

问题描述

　　小 A 轻松地解开了密码锁，获得了神秘宝物（你们猜啊就不告诉你们是什么）。他将宝物藏在了自己和小 B 共同拥有的保险箱里。它有一套小 A 开发的通用而机智的身份认证系统，这套系统将利用传感器将每个人识别为一个不变的电子认证特征：一个 n*n 的矩阵。其中，矩阵的每行每列都有两个点。这一身份认证系统会利用玄学算法求出这一矩阵，并且对此进行解析。由于每个人的特征都是独一无二的矩阵，系统可以快速地认证出身份，简单、快
捷、方便。
　　但是小 A 显然不希望别人和他破解密码锁那样轻松地解开这一身份认证系统，于是他不断地修改着自己做识别的玄学算法，使其更加完备。他发现对于一个矩阵，只要其他人识别出的特征矩阵不与之“相似”，身份认证信息的错误率会降低很多，也更不容易被欺骗。经过多次实验，他发现 a 与 b“相似”意味着：矩阵 a 通过任意次行列变换可以变成矩阵 b。
　　

　　小 A 想知道对于一个 n，可以有多少种不“重复”的 n*n 矩阵。为了让题目更水，你只需要输出答案 mod 10 8 +7 的值就可以了。

输入

　　输入文件名为 safe.in。
　　第一行，一个整数 T。表示数据组数。
　　接下来 T 行，每行一个整数 n。表示一组数据。

输出

　　输出文件名为 safe.out。
　　T 行，每行一个整数，表示方案数。由于答案可能很大，只需要输出 mod 10 8 +7 的值。

Sample Input

3
2
3
4

Sample Output

1
1
2

样例解释

属于同一种方案。

数据范围

　　对于 10%的数据，N≤5。
　　对于 50%的数据，N≤150。
　　对于 100%的数据，T≤5，N≤2×10^3 。

题解

　　10%的数据范围，我们可以采用打表的形式求解，题目样例中已经给出了大部分0～5的答案，这算是一种快速得分的办法。
　　对于50%～100%的数据范围，需要将题目联想成一张二分图。二分图的两侧分别为图中点的X、Y轴，二分图中的连线则代表了一个图中的点。联想到二分图之后，我们来观察本题的性质：矩阵的每行每列都有两个点。这个地方可以告诉我们，在本题里，转换成二分图之后，二分图里至少会有一个环（证明：若二分图中无环，则该二分图的长度将会变成无限长），而多少个环，以及环的大小，就是这个二分图的种类。图中行、列变换是可以理解为在环内的数字移动而已，环中的连线不会改变，那由此想出的解法是自然数拆分。
　　而自然数拆分又要考虑一些边界情况，环不能是由一组X、Y组成，必定至少由两组X、Y组成，所以自然数不能拆分成含1的情况，那这里由动态转移方程得出
　　附上Pascal代码：
　　

program safe;
var f:Array[0..5000,0..5000] of longint;
    ck:array[0..5000,0..5000] of boolean;
    i,j,t,n,k:longint;
const mo=100000007;


function cal(u,v:longint):longint;
var tmp:longint;
begin

   if (ck[u,v]) then exit(f[u,v]);
   ck[u,v]:=true;
   if (u=1) or (v = 1) then begin f[u,v]:=0;exit(f[u,v]);end;
   if u=0 then begin f[u,v]:=1;exit(1);end;
   if v=2 then
   begin
      tmp:=(u mod 2);
      if tmp=0 then f[u,v]:=1 else f[u,v]:=0;
      exit(f[u,v]);end;
   if u<v then begin f[u,v]:=cal(u,u);exit(f[u,v]);end;
   f[u,v]:=(cal(u-v,v) + cal(u,v-1)) mod mo;
   exit(f[u,v]);
end;


begin
   assign(input,'safe.in') ;reset(input);
   assign(output,'safe.out');rewrite(output);
read(t);
  for i:=1 to t do
  begin
     fillchar(ck,sizeof(ck),false);
     read(n);
     writeln(cal(n,n));

  end;
     close(input);close(output);
end.