bzoj 2081 Beads

Description

Zxl有一次决定制造一条项链，她以非常便宜的价格买了一长条鲜艳的珊瑚珠子，她现在也有一个机器，能把这条珠子切成很多块（子串），每块有k（k>0）个珠子，如果这条珠子的长度不是k的倍数，最后一块小于k的就不要拉（nc真浪费），保证珠子的长度为正整数。 Zxl喜欢多样的项链，为她应该怎样选择数字k来尽可能得到更多的不同的子串感到好奇，子串都是可以反转的，换句话说，子串（1，2，3）和（3,2,1）是一样的。写一个程序，为Zxl决定最适合的k从而获得最多不同的子串。 例如：这一串珠子是： (1,1,1,2,2,2,3,3,3,1,2,3,3,1,2,2,1,3,3,2,1)， k=1的时候，我们得到3个不同的子串： (1),(2),(3) k=2的时候，我们得到6个不同的子串： (1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(3,1),(2,3) k=3的时候，我们得到5个不同的子串： (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(1,2,3),(3,1,2) k=4的时候，我们得到5个不同的子串： (1,1,1,2),(2,2,3,3),(3,1,2,3),(3,1,2,2),(1,3,3,2)

Input

共有两行，第一行一个整数n代表珠子的长度，（n<=200000），第二行是由空格分开的颜色ai（1<=ai<=n）

Output

也有两行，第一行两个整数，第一个整数代表能获得的最大不同的子串个数，第二个整数代表能获得最大值的k的个数，第二行输出所有的k（中间有空格）。

Sample Input

21
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 3 1 2 2 1 3 3 2 1

Sample Output

6 1
2

解题思路

这个题是一个字符串各不同长度子串中不重复的个数的问题，
可以使用字符串hash，暴力枚举算出每种长度子串的hash，找出不重复的个数
特殊之处，项链可以反转，因此（1,2,3）和（3,2,1）认为是一样的，因此需要计算每个子串正序的hash和反序的hash，并把这两个hash值乘起来作为最终的hash值，这样（1,2,3）和（3,2,1）就认为是一样的了

借鉴冬令营清华尹昊萱的代码进行分析

需要的数据结构

两个存放正序hash和反序hash的数据：

#define LL unsigned long long
const int maxn=200010;
LL h[maxn],g[maxn]	//h是正序的，g是反序的

计算字符串hash时，依据的公式是：
hash[i] = ( hash[i−1]) ∗ p + id(s[i] ) % mod
这里要把字符串当初一个P进制数处理，p和mod应为质数，且p<mod
一般p可取13331。
对于mod 可以将结果存放在一个unsigned long long中
另外，还需要一个数组pow[ ]存放P进制数每一位的权值来提高效率

const int maxn=200010,p=13331;
LL pow[maxn];

每一个子串的hash值存入一个set中：

#include<set>
set<LL> s;

代码分析

首先读入整个字符串，放在数组a[]中，同时通过两个n次循环，计算正序和反序的每一个hash值：

    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);			//读入整个字符串
    for (int i=1;i<=n;i++) h[i]=h[i-1]*p+a[i];			//计算每一个正序的hash值，下标从1开始
    for (int i=1;i<=n;i++) g[i]=g[i-1]*p+a[n-i+1];			//计算每一个反序的hash值，下标从1开始

准备好P进制的每一位权值，放在pow数组中：

    pow[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) pow[i]=pow[i-1]*p;

j接下来，要做一个两重循环：
外层循环i，实际上是控制子串的长度，即每次切割项链的长度，第一次是1，每次切长度=1的子串，第二次i=2，每次切长度=2的子串，…最后一次i=n，切长度为n的子串，就是整个字符串。

内层循环j，控制每次切的子串的区间，包括正序的和逆序的。当i=1时，每次切长度为1个字符的子串，j=1时，正序切的是s1，反序切的是sn；j=2时，正序切的s2，反序切的s（n-1）…
当i=2时，每次切长度为2个字符的子串，j=1时，切的是s1s2，sns（n-1）；j=3时，切的是s2s3，s（n-2）s（n-3）。。。

对于不同的子串，通过以下公式计算其hash值：
hash[sl…sr] = hash[r] - hash[l-1] * p^( r-l+1)^

外层循环i	子串长度	内层循环j	正序子串	正序hash值	反序子串	反序hash值
i=1	1	j=1	s1	x[1…1]=h[1]-h[0]*pow[1]	s1	g[n…n]=g[n]-g[n-1]pow[1]
i=1	1	j=2	s2	x[2…2]=h[2]-h[1]*pow[1]	s2	g[n-1…n-1]=g[n-1]-g[n-2]pow[1]
i=1	1	j=3	s3	x[3…3]=h[3]-h[2]*pow[1]	s3	g[n-2…n-2]=g[n-2]-g[n-3]pow[1]
…	…	…	…	…	…	…
i=2	2	j=1	s1s2	x[1…2]=h[2]-h[0]*pow[2]	s2s1	g[n…n-1]=g[n]-g[n-2]pow[2]
i=2	2	j=3	s3s4	x[3…4]=h[4]-h[2]*pow[2]	s4s3	g[n-2…n-3]=g[n-2]-g[n-4]pow[2]
…	…	…	…	…	…	…
i=3	3	j=1	s1s2s3	x[1…3]=h[3]-h[0]*pow[3]	s3s2s1	g[n…n-2]=g[n]-g[n-3]pow[3]
i=3	3	j=4	s4s5s6	x[4…6]=h[6]-h[3]*pow[3]	s6s5s4	g[n-3…n-5]=g[n-3]-g[n-6]pow[3]
…	…	…	…	…	…	…