打素数表高效方法(线性)

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

bool visit[10100000];//将是素数的数标记为1(注:从0开始,0,1也被标记了)
int prime[1000000];//将素数依次存入(从下标1开始存)

int init_prime(int number)
{
    memset(visit, true, sizeof(visit));
    int num = 0;
    for (int i = 2; i <= number; ++i)
    {
        if (visit[i] == true)
        {
            num++;//素数个数
            prime[num] = i;
        }
        for (int j = 1; ((j <= num) && (i * prime[j] <= number));  ++j)
        {
            visit[i * prime[j]] = false;
            if (i % prime[j] == 0){
                break; 
            }
        }
    }
    return num;
}

int main()
{
    int number;
    scanf("%d",&number);
    printf("%d\n",init_prime(number));//不大于number的数是素数的个数
}

原理:

1. 任何一个合数都可以表示成一个质数和一个数的乘积
2. 假设A是一个合数，且A = x * y，这里x也是一个合数，那么有:
      A = x * y; (假设y质数，x合数)
      x = a * b; (假设a是质数，且a < x)
 ->  A = a * b * y= a * Z (Z = b * y)
即一个合数(x)与一个质数(y)的乘积可以表示成一个更大的合数(Z)与一个更小的质数(a)的乘积
这也是理解代码中 if(i%primes[j] == 0)break;的关键
例如: 如果i = 8; 那么由于i%2 == 0;因此对于i=8就只需要检查primes[1]即可，因为对于大于primes[1]的质数，像3，有:
       8*3 = 2*4*3 = 12*2
也就是说24(8*3=24)并不需要在8时检查，在12时才检查 ,因此break掉,不用重复判断.