【算法设计与分析zxd】第7章 贪心法

贪心算法的设计技术

• 每一步的判断都是一个当前最优的抉择，这个抉择计算设计的好坏，决定了算法的成败。

• 多步判断过程，最终的判断序列对应于问题的最优解

• 适用于 能够 由 局部最优达到全局最优的优化问题 【比如 求最短哈密顿回路的问题，就不是】

• 需要对具体的贪心算法的正确性进行必要的证明

用贪心法 求问题的解

【例7-1】

学生有n项活动申请使用某一个会议室，每项活动都有一个开始时间和一个结束时间。任何两个活动都不能同时使用这个会议室。问如何安排这些活动，使得被安排活动的数量达到最多？

问题分析

设活动编号的集合为A={1,2,…,n}，第i项活动的起始时间为si，

结束时间为e i 。满足s i ≥e j 或s j ≥e i，i≠j，称为活动相容。

求A的两两相容的最大活动子集S。

 方法1：按活动开始时间优先【更早的开始活动，也许能安排更多的活动】，例

A={1,2,3}，s 1 =0, e 1 =17, s 2 =3,e 2 =5,s 3 =8,e 3 =15

 方法2：按占用时间由短到长来选择，也许可能安排更多的活动，

例A={1,2,3}，s 1 =0, e 1 =8, s 2 =7,e 2 =10,s 3 =9,s e =15

 方法3：按结束时间从小到大选择，也许可以安排更多的活动。

命题：

活动是按结束时间从小到大进行排序的，即有

e 1 ≤e 2 ≤e 3 …≤e n ，贪心算法选择到第k步，有k项活动被选择，

生成一个选择序列i 1 ,i 2 , …,i k （按策略必有i 1 =1），

那么，最优解S必然包含i 1 ,i 2 , …,i k 。

【全局最优包含局部最优】

证明：设A中的活动都是按照结束的时间递增的顺序排列的，

S是A的最优解且S={i 1 ,i 2 , …,i m }。

(1) 当k=1时，需证明活动1被包含在最优解S中，即i 1 =1。

假设 i 1 ≠1，那么用活动1去替换i 1 ，得到S’，有S’=(S-{i 1 } ) ∪{1}，

因为活动1结束时间比i 1活动结束得更早，因此，其和i 2 , …,i m活动均相容，又由于S与S’数量相同，

所以，S’也是A的最优解。 命题成立。

(2)假设对于任意整数k，命题正确。

若前k步顺序选择的活动 为i 1 ,i 2 , …,i k ，那么存在一个最优解S={i 1 ,i 2 , …,i k }∪B。

如果令S’是S中剩下的与{i 1 ,i 2 , …,ik}相容的活动，S’S  

 那么B是S’的一个最优解。若不然，假如S’有解B’，B’>B，那么用B’替换B以后得到解{i1 ,i2 , …,ik}∪B’，将比S的活动更多，这与S是最优解矛题得证。

对比(1)的证明，算法第一步选择结时间最早的活动总是导致一个最优解，故对子

问题S’存在一个最优解B*={ i k+1 , …}。由于B*与B都是S’的最优解，因而B*=B。于是

S’={ i 1 ,i 2 , …,i k }∪B*={ i 1 ,i 2