MATLAB中拟合线性方程(最小二乘法)

本文介绍了如何在MATLAB中使用最小二乘法拟合线性方程。通过实例展示了对四个点(1, 6),(2, 5),(3, 7),(4, 10)的拟合过程,计算得到a=3.5000,b=1.4000,并进行了图形展示。" 103302938,7613122,I/O管理详解:设备类型、分配策略与DMA,"['操作系统', '硬件交互', '设备管理', 'I/O控制方式', 'DMA技术']

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最小二乘法——MATLAB中拟合线性方程

一、写在前面

上一篇说了,最小二乘法的一些概念(最小二乘法在编程中的实现),今天写一下matlab中拟合最小二乘法的代码。

二、matlab实现

数据我们还使用上一篇文章中,涉及到的数据:四个点(x, y):(1, 6 ),(2, 5 ),(3, 7 ),(4, 10 )

我们看看拟合的效果。

1、先看一下原始数据的点

clear
close all
x = [1,2,3,4]
y = [6,5,7,10]

figure(1)
plot(x, y, '*')

hold on
grid on
xlim([0,5])
ylim([4,10])

运行一下,看一下结果:

### 最小二乘法拟合直线方程的计算方法 最小二乘法是一种常用的优化技术,用于寻找最佳拟合数据的函数模型。对于二维空间中的直线拟合问题,目标是最小化实际观测值与预测值之间的误差平方和。 #### 数学推导过程 给定一组数据点 $(x_i, y_i)$ ($i = 1, 2, ..., n$),假设直线方程为 $y = ax + b$,其中 $a$ 是斜率,$b$ 是截距。为了找到最优的 $a$ 和 $b$ 参数,需使误差平方和达到最小: $$ S(a, b) = \sum_{i=1}^n (y_i - (ax_i + b))^2 $$ 通过对 $S(a, b)$ 关于 $a$ 和 $b$ 的偏导数分别取零,可以得到两个正规方程[^1]: $$ \frac{\partial S}{\partial a} = -2 \sum_{i=1}^n x_i(y_i - (ax_i + b)) = 0 $$ $$ \frac{\partial S}{\partial b} = -2 \sum_{i=1}^n (y_i - (ax_i + b)) = 0 $$ 经过整理后可得以下线性方程组: $$ na + b\sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n y_i $$ $$ a\sum_{i=1}^n x_i + b\sum_{i=1}^n x_i^2 = \sum_{i=1}^n x_iy_i $$ 解此方程组即可获得 $a$ 和 $b$ 的解析表达式[^3]: $$ a = \frac{n\sum_{i=1}^n x_iy_i - (\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n y_i)}{n\sum_{i=1}^n x_i^2 - (\sum_{i=1}^n x_i)^2} $$ $$ b = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2 \sum_{i=1}^n y_i - \sum_{i=1}^n x_i \sum_{i=1}^n x_iy_i}{n\sum_{i=1}^n x_i^2 - (\sum_{i=1}^n x_i)^2} $$ 以上公式提供了基于最小二乘法直线拟合参数的具体计算方式。 #### MATLAB 实现代码 以下是利用上述公式的 MATLAB 实现代码示例: ```matlab function [a, b] = least_squares_fit(x, y) % 输入: 数据点坐标向量 x 和 y % 输出: 斜率 a 和截距 b n = length(x); sum_x = sum(x); sum_y = sum(y); sum_xy = sum(x .* y); sum_xx = sum(x.^2); denominator = n * sum_xx - sum_x^2; a = (n * sum_xy - sum_x * sum_y) / denominator; % 斜率 b = (sum_xx * sum_y - sum_x * sum_xy) / denominator; % 截距 end ``` 调用该函数时传入两组对应的数据点数组 `x` 和 `y` 即可返回拟合直线的参数 $a$ 和 $b$。 --- ###
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