等级分布图的边界元素的处理

1. 鉴定边界元素

簇的凝聚度和分离度并不是独立的,两者之和为一个常数,等于总平方和, 即每个样本到总均值的距离的平方和,很明显,单纯地使用凝聚度或者分离度作为聚类的有效性分析是不严谨的 。

Kaufman等人提出的轮廓系数( SilhouetteCoefficient)，结合了凝聚度和分离度 。 

针对数据集里样本d_((i)), 假设样本d_((i)) 被聚类到簇A , 其轮廓系数S_((i))定义如下:
S_((i))=(b_((i) )-a_((i)))/(max⁡{b_((i) ),a_((i))})

      其中，a_((i))=样本d_((i))与其同簇其他样本的平均距离；对于其他非簇A

的簇C而言，令D_(（i,C）)= 样本d_((i))与簇C中所有样本的平均距离，则

b_((i))=min¦(C≠A) {D_(（i,C）) }，假设样本与簇B中所有样本的平均距离取得该最小值。

S_((i))取值介于-1和1之间，若S_((i))接近1，则表示簇内平均距离a_((i))远小于簇间平均距离b_((i))，表示该样本适合簇A，反之，若S_((i)) 接近-1，则表示该样本更适合簇B，若S_((i)) 接近0，则表示样本极有可能被重新分类
 

2.空间关联指标

  

轮廓系数并不能指出是否改变这些元素会影响视觉上的空间关联。

莫兰指数(Moran’s I)是用来度量空间相关性的一个重要指标。他是一个有理数，经过方差归一化之后，它的值会被归一化到-1.0--1.0之间。

一般说来，莫兰指数分为全局莫兰指数（GlobalMoran’sI）和安瑟伦局部莫兰指数（AnselinLocalMoran’sI）前者是是澳大利亚统计学家帕克·莫兰提出的，后者是美国亚利桑那州立大学地理与规划学院院长LucAnselin教授在1995年提出的。
 

Moran’s I >0表示空间正相关性，其值越大，空间相关性越明显，Moran’s I<0表示空间负相关性，其值越小，空间差异越大，否则，Moran’s I = 0，空间呈随机性。

Clustered（集群）：任何东西与别的东西之间都是相关的，但近处的东西比远处的东西相关性更强  Moran’sI>0。

Dispersed（散布数据）：不同类在空间上是连续的,Moran’s I<0。

Random:随机的，Moran’sI接近0

空间自相关的Moran’sI统计可表示为：

其中，N等于要素总数，W_(i,j)是要素i和j之间的空间权重，∑▒i∑▒〖jW_(i,j) 〗 是所有空间权重的聚合，x ̅是要素x的属性的平均值。

例子：

 

Fig.1. An example of k-means clustering (k=5).Boundaryelementswith a silhouette coefficient from-:1≤t≤ 0arehighlighted. Weannotate one boundaryelementwith a red circle and show therelationship between the two views.