FM模型

  FM（Factorization Machines，因子分解机）,它是一种通用的预测方法，在即使数据非常稀疏的情况下，依然能估计出可靠的参数进行预测。与传统的简单线性模型不同的是，因子分解机考虑了特征间的交叉，对所有嵌套变量交互进行建模（类似于SVM中的核函数），因此在推荐系统和计算广告领域关注的点击率CTR（click-through rate）和转化率CVR（conversion rate）两项指标上有着良好的表现。此外，FM的模型还具有可以用线性时间来计算，以及能够与许多先进的协同过滤方法（如Bias MF、svd++等）相融合等优点。

线性模型

$$y=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i$$

  线性回归模型假设：

1.特征之间是相互独立不相关的

2.特征之间的作用是可以相互叠加的

  但现实世界中的特征难以满足这独立不相关这一点要求，比如在模型的预测中，我们需要将有的特征进行one-hot编码，比如男（0,1），女（1,0）,如果特征不相关那么可能出现（1,1）这种情况，但性别没有第三种啊！

  线性模型的表现能力偏弱，无法表示非线性的模型，这使得模型只能使用在一些极为简单的场合，极大的限制了模型的使用范围。为了改进这一点，我们可以引入非线性的交叉项，这一点可以看做逻辑回归中认为的构造特征的延伸。如果我们将模型改为二阶的多项式模型

二阶多项式模型

$$y=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{w}_{i,j}{x}_i{x}_j$$ （1）

  同时$x_i{x}_j$和$x_j{x}_i$的系数是一样的，乘方项不考虑，可以简化为

$$y=w_0+\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^{n}2w_{i,j}{x}_i{x}_j$$ （2）

  但此时的高阶项有$\frac{n(n-1)}{2}$项，但是如果$x_i{x}_j$值为0,那么模型无法学习到其权重。

FM模型

公式推导

  考虑到任何一个实对称矩阵可以分解为两个向量内积的形式，同时$x_i{x}_j$和$x_j{x}_i$的系数是一样的，$w_i$是一个实对称矩阵的元素。

w i , j = < v i , v j > w_{i,j}=<v_i,v_j>