[区间DP] UVa1626 括号序列（细节题）（递归边界处理）

本文介绍了一种利用动态规划解决括号匹配问题的方法。针对给定字符串中的括号，算法确定最少需要添加多少括号以使整个字符串合法。文章详细阐述了状态定义、初状态设定、状态转移方程等关键步骤，并提供了完整的代码实现。

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题目

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思路

本题最重要的状态转移如下：
这里写图片描述
边界为

S为空时，d(S) = 0
S为单字符时，d(S) = 1

本题的递归边界处理强的地方是，通过普遍性很高的递归设计，从而避免了过多的特判，从而简化了思路和代码。
另外本题的输出最优解方法也值得学习，这是对于DP问题的普遍做法：找符合转移并且d[…new…] = d[…old…]+w[…]的进行递归输出。

1.状态定义：d(i,j)，字串S[i…j]最少需要添加几个括号。
2.初状态：d[i][i] = 1; d[i+1][i] = 0;
3.答案：d[0][n-1]
4.状态转移方程：

d (i, j) = m i n {d [i] [k] + d [k + 1] [j] | i < = k < j}

$d(i,j) = min\left\{d[i][k] + d[k+1][j] | i<=k<j\right\}$
5.复杂度：

O(n3)O(n3) $O(n^3)$

代码

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const int INF = 1000000;
const int maxn = 100 + 10;
char S[maxn];
int n, d[maxn][maxn];

bool match(int i, int j) {
    if (S[i] == '(' && S[j] == ')') return true;
    if (S[i] == '[' && S[j] == ']') return true;
    return false;
}

void dp() {
    _for(i, 0, n) {
        d[i + 1][i] = 0;
        d[i][i] = 1;
    }
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--)    // 注意这里i和j的枚举顺序，i逆向枚举，j顺着i顺向枚举
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            d[i][j] = INF;
            if (match(i, j)) d[i][j] = min(d[i][j], d[i + 1][j - 1]);
            for (int k = i; k < j; k++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k + 1][j]);
        }
}

void print(int i, int j) {
    if (i > j) return;
    if (i == j) {
        if (S[i] == '(' || S[i] == ')') printf("()");
        else printf("[]");
        return;
    }
    int ans = d[i][j];
    if (match(i, j) && ans == d[i + 1][j - 1]) {
        printf("%c", S[i]);
        print(i + 1, j - 1);
        printf("%c", S[j]);
        return;
    }
    for(int k = i; k<j; k++)
        if (ans == d[i][k] + d[k + 1][j]) {
            print(i, k);
            print(k + 1, j);
            return;
        }
}

int main() {
    //freopen("output.txt", "w", stdout);

    int T;
    scanf("%d", &T);
    fgets(S, maxn, stdin); // 吸掉行末换行符
    while (T--) {
        fgets(S, maxn, stdin); // 吸掉空行
        fgets(S, maxn, stdin);
        if (S[0] == '\n') {  // 特判
            printf("\n\n");
            continue;
        }
        n = strlen(S);
        n--; // 因为S的长度里包括了行末换行符
        dp();
        print(0, n-1);
        printf("\n");
        if (T) printf("\n");

    }

    return 0;
}