<think>嗯，用户想了解
C++98标准下的高效质数筛
模板。首先，我得确认用户的需求是什么。质数筛
算法有很多种，比如埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）、欧拉筛（
线性筛）等等。用户提到的是“高效”，所以可能需要比较不同
算法的效率，并给出在
C++98下的实现。
首先，我需要回顾一下
C++98的限制。
C++98不支持auto、范围for循环、移动语义等特性，所以在代码中要避免使用这些。同时，动态数组可能需要用new或者vector来实现。不过，考虑到效率，可能更推荐使用原生数组，或者vector来方便管理内存。
接下来，考虑质数筛的高效实现。埃氏筛的时间复杂度是O(n log log n)，而欧拉筛是线性的O(n)，但实际应用中埃氏筛可能在小数据情况下更快，因为常数因子较小。不过对于大数，欧拉筛更优。用户可能是在处理大范围的质数筛选，所以需要选择更高效的
算法。
埃氏筛的实现相对简单，可以用一个布尔数组标记非质数。例如，从2开始，将每个质数的倍数标记为合数。需要注意的是优化，比如从i*i开始标记，每次增加i。这样可以减少重复标记的次数。但是埃氏筛会重复标记某些合数，比如6会被2和3都标记一次。
欧拉筛则通过每个合数只被其最小质因数筛除，避免了重复，所以效率更高。实现时，需要用额外的数组存储已经找到的质数，并对每个数乘以已知质数来标记合数，当当前数能被已知质数整除时，就停止循环，确保每个合数只被标记一次。
但用户提到的是
C++98标准，所以在代码中不能使用
C++11及以后的特性。比如，vector的初始化可能需要用循环来设置，或者使用memset等函数。此外，动态数组的大小可能需要预先确定，或者根据输入调整。
另外，内存管理方面，如果处理非常大的n，使用bool数组可能更节省内存，因为bool在
C++中通常占用1字节，而bitset或者位操作可以进一步压缩空间，每个位代表一个数是否被标记。不过位操作在代码复杂度上会增加，可能会影响速度，但节省内存。
例如，使用bitset的话，在
C++98中是支持的，但大小必须是编译时常量，这限制了灵活性。如果用户需要动态大小，可能需要自己实现位操作，或者使用vector<bool>，虽然vector<bool>在
C++中有特化，但可能会有性能问题，因为其存储方式是按位压缩的。
所以，可能的解决方案是，对于埃氏筛，使用vector<bool>或者原生数组，而欧拉筛则需要维护一个质数列表。
现在需要考虑代码示例。比如，埃氏筛的
C++98实现：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void eratosthenes(int n) {
vector<bool> is_prime(n+1, true);
is_prime[0] = is_prime[1] = false;
for (int i=2; i*i<=n; ++i) {
if (is_prime[i]) {
for (int j=i*i; j<=n; j+=i) {
is_prime[j] = false;
}
}
}
// 输出质数
for (int i=2; i<=n; ++i) {
if (is_prime[i]) {
cout << i << " ";
}
}
}
这里使用了vector<bool>，在
C++98中是允许的。初始化时第二个参数是true，然后逐步标记非质数。需要注意的是，循环的起始点是i*i，这样可以减少重复标记。然后输出所有is_prime为true的索引。
而欧拉筛的实现会更复杂一些：
void euler_sieve(int n) {
vector<bool> is_prime(n+1, true);
vector<int> primes;
is_prime[0] = is_prime[1] = false;
for (int i=2; i<=n; ++i) {
if (is_prime[i]) {
primes.push_back(i);
}
for (size_t j=0; j<primes.size() && i*primes[j] <= n; ++j) {
is_prime[i * primes[j]] = false;
if (i % primes[j] == 0) {
break;
}
}
}
// 输出质数
for (size_t i=0; i<primes.size(); ++i) {
cout << primes[i] << " ";
}
}
这里需要注意，内层循环的条件是i*primes[j] <=n，并且当i能被当前质数整除时，就停止，这样可以保证每个合数只被最小的质因数筛掉。这种方法的时间复杂度是线性的，但空间上需要存储质数列表和一个标记数组。
在
C++98中，vector的push_back是支持的，所以这段代码应该可以运行。不过，可能需要考虑初始内存分配的问题，预先预留空间可能提高效率，但用户可能更关注正确性。
此外，两种筛法的选择取决于具体的n的大小和内存限制。埃氏筛在n很大时可能会有较多的重复标记，但代码简单，容易实现。欧拉筛更高效，但代码稍复杂，且需要额外的空间存储质数列表。
另外，关于性能优化，比如埃氏筛的分块筛选（分段筛）可以处理更大的n，但可能用户需要的是基本的
模板，所以暂时不需要涉及。
还需要考虑输入的n的大小，如果n非常大，比如1e8以上，可能需要考虑内存的使用情况。例如，vector<bool>在存储1e8时需要大约12MB左右的内存（因为每个元素占1位），而欧拉筛的primes数组存储的质数数量大约是n / log n，对于1e8大概是5e6左右，所以内存应该足够。
总结，用户需要的是一个高效的质数筛
模板，在
C++98下实现。应该提供埃氏筛和欧拉筛两种方法的代码，并说明它们的优缺点，让用户根据实际需求选择。
另外，需要注意代码的正确性，比如埃氏筛的初始化和循环条件，欧拉筛中的break条件是否正确。同时，要提醒用户在使用时注意内存限制，比如当n非常大的时候，可能会因为内存不足而无法运行。
最后，可能需要给出示例代码，并说明如何调用这些函数，以及输出的结果。同时，可以给出一些优化建议，比如在埃氏筛中只处理奇数，或者使用位操作来进一步压缩内存，但这可能会增加代码复杂度。</think>在
C++98标准下，质数筛的高效实现主要有两种方法：埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）和欧拉筛（
线性筛）。以下是它们的实现
模板和特性分析：
---
### **一、埃拉托斯特尼筛法（时间复杂度 $O(n \log \log n)$）**
#### 核心思想
通过标记
素数的倍数来筛选质数，优化点包括：
1. 从 $i^2$ 开始标记
2. 仅遍历到 $\sqrt{n}$
####
C++98实现代码
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void sieve_eratosthenes(int n) {
vector<bool> is_prime(n + 1, true);
is_prime[0] = is_prime[1] = false;
for (int i = 2; i * i <= n; ++i) {
if (is_prime[i]) {
for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
is_prime[j] = false;
}
}
}
// 输出质数
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (is_prime[i]) {
cout << i << " ";
}
}
}
```
#### 优点
- 代码简单，易于实现
- 内存占用低（使用位压缩时更优）
#### 缺点
- 部分合数会被多次标记（如6会被2和3标记）
---
### **二、欧拉筛（时间复杂度 $O(n)$）**
#### 核心思想
确保每个合数仅被其最小质因数筛除，避免重复标记。
####
C++98实现代码
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void sieve_euler(int n) {
vector<bool> is_prime(n + 1, true);
vector<int> primes;
is_prime[0] = is_prime[1] = false;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (is_prime[i]) {
primes.push_back(i);
}
for (size_t j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; ++j) {
is_prime[i * primes[j]] = false;
if (i % primes[j] == 0) { // 关键：防止重复标记
break;
}
}
}
// 输出质数
for (size_t i = 0; i < primes.size(); ++i) {
cout << primes[i] << " ";
}
}
```
#### 优点
- 严格的线性时间复杂度
- 无重复标记操作
#### 缺点
- 需要额外存储质数列表
---
### **三、性能对比**
|
算法 | 时间复杂度 | 适用场景 |
|-------------|------------------|------------------------|
| 埃氏筛 | $O(n \log \log n)$ | 小规模数据或内存敏感场景 |
| 欧拉筛 | $O(n)$ | 大规模数据追求极致效率 |
---
### **四、使用示例**
```cpp
int main() {
int n = 100;
cout << "埃氏筛结果: ";
sieve_eratosthenes(n);
cout << endl;
cout << "欧拉筛结果: ";
sieve_euler(n);
return 0;
}
```
---
### **五、优化扩展**
1. **内存优化**
用 `vector<bool>` 或位运算压缩标记数组，将内存占用降至 $n/8$ 字节。
2. **分段筛**
处理超大范围时（如 $n \geq 10^8$），分块加载数据到内存。
3. **奇数优化**
除2外，其他偶数无需判断，可减少一半遍历次数。
根据需求选择合适的
算法，平衡时间与空间复杂度。
本文介绍了一种高效的线性筛素数算法，并通过示例代码详细展示了其原理及实现过程。该算法能在线性时间内筛选出指定范围内的所有素数。
）
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