范数

Wiki里范数的定义：具有长度概念的函数。在线性代数中，是一个函数，其为向量空间内所有向量赋予非零的正长度。

最简单的就是实数空间中的绝对值，还有欧式空间中的向量摩长。

 

向量的范数

我们考虑如下的方式定义向量长度：

我们把p分别取0,1,2，无穷，得到如下各个范数形式。我们取X=[1,-2,3,0,0,1]，分别考虑如下范数。

 

零范数：

一个向量的零范数指的是其非零元素的个数，上面的X取零范数，得到：

 

一范数：

一个向量的1范数指的是其元素绝对值的和，X取1范数得到：

 

二范数（欧式范数）：

向量的2范数，就是其摩长，也就是元素平方和再开方，

 

最大范数：

取p为正无穷大，得到最大范数：

也就是其最大的元素绝对值。

 

矩阵的范数

我们如何定义一个矩阵的“长度”概念？类似的，我们可以借鉴向量的方法，定义：

这样，我们得到如下矩阵的范数。

 

零范数：

一范数：

 

二范数：

矩阵的2范数也称为弗罗贝尼乌斯范数（Frobeniusnorm）或希尔伯特-施密特范数（F范数）

最大范数：

上面把矩阵看为多个向量，称为矩阵的元范数；还有矩阵的诱导范数，这里不讨论。