二分查找算法及其优化的C语言实现

二分查找

二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好，占用系统内存较少;其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功;否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分，取a[n/2]与x做比较，如果x=a[n/2],则找到x,算法中止;如果x<a[n/2],则只要在数组a的左半部分继续搜索x,如果x>a[n/2],则只要在数组a的右半部搜索x.

时间复杂度无非就是while循环的次数!

总共有n个元素，

渐渐跟下去就是n,n/2,n/4,....n/2^k(接下来操作元素的剩余个数)，其中k就是循环的次数

由于你n/2^k取整后>=1

即令n/2^k=1

可得k=log2n,(是以2为底，n的对数)

所以时间复杂度可以表示O(h)=O(log2n)

代码实现的具体思想就是在数组中查找，将数组的头和尾进行标记

假如有一组数为3，12，24，36，55，68，75，88要查给定的值24.可设三个变量front，mid，end分别指向数据的上界，中间和下界，mid=(front+end)/2.

1.开始令front=0(指向3)，end=7(指向88)，则mid=3(指向36)。因为a[mid]>x，故应在前半段中查找。

2.令新的end=mid-1=2，而front=0不变，则新的mid=1。此时x>a[mid]，故确定应在后半段中查找。

3.令新的front=mid+1=2，而end=2不变，则新的mid=2，此时a[mid]=x，查找成功。

如果要查找的数不是数列中的数，例如x=25，当第三次判断时，x>a[mid]，按以上规律，令front=mid+1，即front=3，出现front>end的情况，表示查找不成功。

具体代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<assert.h>
#include<string.h>
int  binarysearch(int* arr, int front, int end, int mid, int value) {
	assert(arr != NULL && front <= mid);
	while (front <= end) {
		if (value < arr[mid]) {

			end = mid - 1;
			mid = (front + end) / 2;
			



		}

		else {

			front = mid + 1;
			mid = (front + end) / 2;

		}
		if (value == arr[mid]) {
			return mid;
		}

	}
	
}


	
	


int main() {
	int arr[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8 };
	int value = 0;
	int front = 0;
	int end = sizeof(arr) / sizeof(arr[0])-1 ;
	int mid = end / 2;
	int  res = binarysearch(arr, front, end, mid, value);
	printf("%-5d", res);
	return 0;
}

经过程序运行可以得到所查找的数在数组中的下标位置

那么如果所查找的元素不属于这个数组，我们如何通过结果鉴别，我们可以在未进循环的位置加上标记

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<assert.h>
#include<string.h>
int  binarysearch(int* arr, int front, int end, int mid, int value) {
	assert(arr != NULL && front <= mid);
	while (front <= end) {
		if (value < arr[mid]) {

			end = mid - 1;
			mid = (front + end) / 2;
			



		}

		else {

			front = mid + 1;
			mid = (front + end) / 2;

		}
		if (value == arr[mid]) {
			return mid;
		}

	}
	return 10;
	
}


	
	


int main() {
	int arr[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8 };
	int value = 0;
	int front = 0;
	int end = sizeof(arr) / sizeof(arr[0])-1 ;
	int mid = end / 2;
	int  res = binarysearch(arr, front, end, mid, value);
	printf("%-5d", res);
	printf("如果输出10,则数组中不存在该数");
	return 0;
}

当结果输出10时，则说明所查找的元素不在数组中

优化

这个问题的优化主要是关于mid值的计算

mid=(front+end）/2

直接使用除法运行对于比较庞大的数据规模就会出现比较庞大的运行时间

这里我们引入一个新的计算方式——位运算

***********************************************************************************

左移运算符（<<）

将一个运算对象的各二进制位全部左移若干位（左边的二进制位丢弃，右边补0）。

例：a = a << 2 将a的二进制位左移2位，右补0，

左移1位后a = a * 2; 

若左移时舍弃的高位不包含1，则每左移一位，相当于该数乘以2。

***********************************************************************************

右移运算符（>>）

将一个数的各二进制位全部右移若干位，正数左补0，负数左补1，右边丢弃。

操作数每右移一位，相当于该数除以2。

例如：a = a >> 2 将a的二进制位右移2位，

左补0 or 补1 得看被移数是正还是负。

因此我们可以将mid=(front+end)/2更改为mid =(front+end)>>1;

在本题的前提下，更改的这个程度就没有问题了。

但是如果数据很大，front+end超过了定义的范围，就不能进行运算的时候，我们应该如何处理

在这里我们运用这样的解决方式：mid=front+（end-front）/2

这样就保证了运算部分不会出现超范围的问题

另外在使用位运算计算某一个变量值的过程中，应该始终注意运算符的优先级问题。