iOS逆向之RSA加密（上）

本文主要介绍RSA的数学原理、以及RSA的代码演示

引子

密码学

是指研究信息加密、破解密码的技术科学。最早可以追溯到追溯到2000年前。而当今的密码学是以数学为基础的。

密码学发展史

• 在1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：加密、解密使用同一种算法。在交互数据的时候，彼此通信的双方就必须将规则告诉对方，否则没法解密。那么加密和解密的规则（简称密钥），它保护就显得尤其重要。传递密钥就成为了最大的隐患。这种加密方式被成为对称加密算法（symmetric encryption algorithm）

• 1976年，两位美国计算机学家 迪菲（W.Diffie）、赫尔曼（ M.Hellman ） 提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成密钥交换。这被称为“迪菲赫尔曼密钥交换”算法。开创了密码学研究的新方向

RSA数学原理

上世纪70年代产生的一种加密算法。其加密方式比较特殊，需要两个密钥：公开密钥简称公钥（publickey）和私有密钥简称私钥（privatekey）。公钥加密，私钥解密；私钥加密，公钥解密。这个加密算法被称为的RSA

离散对数问题

现在想实现这一种 加密容易，但是破解很难的加密算法，利用数学运算，如mod取模，有如下方案：

• 用质数做模数，例如17

• 找一个比17小的数作为n次方的基数，例如3

• 找出基数的n次方 mod 质数 = 固定的数，求n

3^? mod 17 = 12，此时的`？`是多少呢？（mod -> 求余数,在西方被称为时钟算数）

从下方的规律中可以看出，3的1次方~16次方 mod 17 得到的结果都是不同的，且结果分布在 [1,17)上。此时将 3 称为 17 的原根

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所以根据图中所示，? 可能是13，可能是29等。即从这里可以看出：通过 12 去反推3的?次方是很难的。如果质数加大，反推的难度也会加大。

质数：公约数只有1和自己，其中2是一个特殊质数

欧拉函数φ（读 fai）

定义

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？计算这个值的方式就叫做欧拉函数，使用Φ(n)表示

互质关系

如果两个正数，除了1以外，没有其他公因数，就称这两个数是互质关系（comprime）

欧拉函数特点

• 1、当n是质数时，Φ(n) = n - 1

• 2、如果n可以分解成两个互质的整数之积，例如 n = A * B，则Φ(A * B) = Φ(A)