Python学习笔记-StatsModels 统计回归——线性回归

 

人工智能学习离不开实践的验证，推荐大家可以多在FlyAI-AI竞赛服务平台多参加训练和竞赛，以此来提升自己的能力。FlyAI是为AI开发者提供数据竞赛并支持GPU离线训练的一站式服务平台。每周免费提供项目开源算法样例，支持算法能力变现以及快速的迭代算法模型。 

1、背景知识

1.1 插值、拟合、回归和预测

　　插值、拟合、回归和预测，都是数学建模中经常提到的概念，而且经常会被混为一谈。

• 插值，是在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。 插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
• 拟合，是用一个连续函数（曲线）靠近给定的离散数据，使其与给定的数据相吻合。

　　因此，插值和拟合都是根据已知数据点求变化规律和特征相似的近似曲线的过程，但是插值要求近似曲线完全经过给定的数据点，而拟合只要求近似曲线在整体上尽可能接近数据点，并反映数据的变化规律和发展趋势。插值可以看作是一种特殊的拟合，是要求误差函数为 0的拟合。由于数据点通常都带有误差，误差为 0 往往意味着过拟合，过拟合模型对于训练集以外的数据的泛化能力是较差的。因此在实践中，插值多用于图像处理，拟合多用于实验数据处理。

• 回归，是研究一组随机变量与另一组随机变量之间关系的统计分析方法，包括建立数学模型并估计模型参数，并检验数学模型的可信度，也包括利用建立的模型和估计的模型参数进行预测或控制。

• 预测是非常广泛的概念，在数模中是指对获得的数据、信息进行定量研究，据此建立与预测目的相适应的数学模型，然后对未来的发展变化进行定量地预测。通常认为，插值和拟合都是预测类的方法。

　　回归是一种数据分析方法，拟合是一种具体的数据处理方法。拟合侧重于曲线参数寻优，使曲线与数据相符；而回归侧重于研究两个或多个变量之间的关系。

1.2 线性回归

　　回归分析（Regression analysis)是一种统计分析方法，研究是自变量和因变量之间的定量关系，经常用于预测分析、时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。按照变量之间的关系类型，回归分析可以分为线性回归和非线性回归。

　　线性回归（Linear regression） 假设给定数据集中的目标（y）与特征（X）存在线性关系，即满足一个多元一次方程 。 回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，称为一元线性回归；如果包括两个或多个的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归。
　　
　　根据样本数据，采用最小二乘法可以得到线性回归模型参数的估计量，并使根据估计参数计算的模型数据与给定的样本数据之间误差的平方和为最小。

　　进一步地，还需要分析对于样本数据究竟能不能采用线性回归方法，或者说线性相关的假设是否合理、线性模型是否具有良好的稳定性？这就需要使用统计分析进行显著性检验，检验因变量与自变量之间的线性关系是否显著，用线性模型来描述它们之间的关系是否恰当。

2、Statsmodels 进行线性回归

本节结合 Statsmodels 统计分析包 的使用介绍线性拟合和回归分析。线性模型可以表达为如下公式：

2.1 导入工具包

import statsmodels.api as sm
from statsmodels.sandbox.regression.predstd import wls_prediction_std

2.2 导入样本数据

　　样本数据通常保存在数据文件中，因此要读取数据文件获得样本数据。为便于阅读和测试程序，本文使用随机数生成样本数据。读取数据文件导入数据的方法，将在后文介绍。

# 生成样本数据:
nSample = 100
x1 = np.linspace(0, 10, nSample) # 起点为 0，终点为 10，均分为 nSample个点
e = np.random.normal(size=len(x1)) # 正态分布随机数
yTrue =