BZOJ5017【SNOI2017】炸弹题解（线段树优化建图+tarjan+DP）

最新推荐文章于 2021-12-01 22:18:22 发布

原创最新推荐文章于 2021-12-01 22:18:22 发布 · 283 阅读

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本文详细解析了BZOJ5017题的解题思路，通过建立图模型并运用强连通分量缩点和DP算法，实现了在O(nlogn)的时间复杂度下求解序列中每个元素影响范围的问题。

题目：BZOJ5017.
题目大意：给定两个长度为 $n$ 的序列 $x_i,r_i$ ，若 $x_i-r_i\leq x_j\leq x_i+r_i$ ，则称 $i$ 能影响 $j$ ；若 $a$ 能影响 $b$ ， $b$ 能影响 $c$ ，则 $a$ 能影响 $c$ .设 $f (i)$ 表示 $i$ 能影响的数的个数，求：
$ans=\sum_{i=1}^{n}i*f(i)\,\,\,\,(mod\,\,10^9+7)$

$1\leq n\leq 5*10^5,x_{i-1}<x_i$ .

首先，按照套路，我们把建 $n$ 个点，将第 $i$ 个点向第 $i$ 个点能够影响到的所有点连一条边.

然后我们就知道了，在这张图上 $i$ 能够到达的所有点都是能被 $i$ 影响的，所以我们需要统计 $i$ 能够到达的点的数目.

由于这张图可能有环出现，所以我们先跑个强连通分量缩点，缩完之后再统计就变成了在DAG上统计一个点能够到达的点的数目，可以很容易解决.

不幸的是，这个做法建图是 $O(n^2)$ 的，统计是 $O(n^2)$ 的.

不过没关系，容易发现每一个点连向的所有点必定是编号在一个连续区间内的点，所以线段树优化建图即可将建图复杂度降为 $O(n\log n)$ .

不过，统计DAG上一个点能够到达的点的数目好像怎么写都是 $O(n^2)$ 的（最多用bitset优化成 $O(\frac{n^2}{32})$ ，然而要跑 $50 W$ 的数据还是算了吧…）.

当然这道题是一定可以做的，所以我们要分析一个点可以到达点的性质.

容易发现一个点可以到达的所有点必然也是在一个连续区间内的，所以我们只要用DP求出这个区间的左右端点（可以到达节点的编号最大最小值），这个显然是可以做到现行复杂度解决的.

时间复杂度 $O(n\log n)$ .

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
 
#define Abigail inline void
typedef long long LL;
 
const int N=500000,mod=1000000007,C=15,INF=(1<<30)-1;
 
int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
int sub(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
int mul(int a,int b){return (LL)a*b%mod;}
void sadd(int &a,int b){a=add(a,b);}
void ssub(int &a,int b){a=sub(a,b);}
void smul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
 
int n;
LL a[N+9],r[N+9];
 
int Lower(LL x){
  int l=1,r=n,mid=l+r>>1;
  for (;l<r;mid=l+r>>1)
    x>a[mid]?l=mid+1:r=mid;
  return l;
}
 
int Upper(LL x){
  int l=1,r=n,mid=l+r+1>>1;
  for (;l<r;mid=l+r+1>>1)
    x<a[mid]?r=mid-1:l=mid;
  return l; 
}
 
struct side{
  int y,next;
}e[N*C*4+9];
int lin[2][N*4+9],cs;
 
void Ins(int id,int x,int y){e[++cs].y=y;e[cs].next=lin[id][x];lin[id][x]=cs;}
 
int tr[N*4+9],cn;
 
void Build(int L,int R,int k){
  if (L==R) {tr[k]=L;return;}
  tr[k]=++cn;
  int mid=L+R>>1;
  Build(L,mid,k<<1);Build(mid+1,R,k<<1|1);
  Ins(0,tr[k],tr[k<<1]);Ins(0,tr[k],tr[k<<1|1]);
}
 
void Link(int u,int L,int R,int l,int r,int k){
  if (L==l&&R==r) {Ins(0,u,tr[k]);return;}
  int mid=l+r>>1;
  if (R<=mid) Link(u,L,R,l,mid,k<<1);
  else if (L>mid) Link(u,L,R,mid+1,r,k<<1|1);
    else Link(u,L,mid,l,mid,k<<1),Link(u,mid+1,R,mid+1,r,k<<1|1);
}
 
int dfn[N*4+9],low[N*4+9],vis[N*4+9],co;
stack<int>sta;
int bel[N*4+9],cnt;
vector<int>scc[N*4+9];
 
void Tarjan(int k){
  dfn[k]=low[k]=++co;
  vis[k]=1;sta.push(k);
  for (int i=lin[0][k];i;i=e[i].next)
    if (!dfn[e[i].y]){
      Tarjan(e[i].y);
      low[k]=min(low[k],low[e[i].y]);
    }else if (vis[e[i].y]) low[k]=min(low[k],dfn[e[i].y]);
  if (dfn[k]^low[k]) return;
  ++cnt;
  while (vis[k]){
    int t=sta.top();sta.pop();
    vis[t]=0;
    scc[bel[t]=cnt].push_back(t);
  }
}
 
int mx[N*4+9],mn[N*4+9],ans;
 
void Contract(){
  for (int i=1;i<=cn;++i)
    if (!dfn[i]) Tarjan(i);
  for (int i=1;i<=cn;++i)
    for (int j=lin[0][i];j;j=e[j].next)
      if (bel[i]^bel[e[j].y]) Ins(1,bel[i],bel[e[j].y]);
}
 
void Dfs_dp(int k){
  if (vis[k]) return;
  vis[k]=1;
  for (int i=lin[1][k];i;i=e[i].next){
    Dfs_dp(e[i].y);
    mx[k]=max(mx[k],mx[e[i].y]);
    mn[k]=min(mn[k],mn[e[i].y]);
  }
}
 
Abigail into(){
  scanf("%d",&n);
  for (int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%lld%lld",&a[i],&r[i]);
}
 
Abigail work(){
  cn=n;
  Build(1,n,1);
  for (int i=1;i<=n;++i)
    Link(i,Lower(a[i]-r[i]),Upper(a[i]+r[i]),1,n,1);
  Contract();
  for (int i=1;i<=cnt;++i) mx[i]=-INF,mn[i]=INF,vis[i]=0;
  for (int i=1;i<=n;++i){
    mx[bel[i]]=max(mx[bel[i]],Upper(a[i]+r[i]));
    mn[bel[i]]=min(mn[bel[i]],Lower(a[i]-r[i]));
  }
  for (int i=1;i<=n;++i){
    Dfs_dp(bel[i]);
    sadd(ans,mul(i,mx[bel[i]]-mn[bel[i]]+1));
  }
}
 
Abigail outo(){
  printf("%d\n",ans);
}
 
int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}