取整函数相关

一.取整函数的定义.

这里我们主要研究下取整函数，所以这里只定义下取整函数.

下取整函数：定义下取整函数$\lfloor x\rfloor$为：
⌊x⌋=max⁡i∈Z∧i≤x{i} \lfloor x\rfloor=\max_{i\in Z\wedge i\leq x}\{i\} ⌊x⌋=i∈Z∧i≤xmax​{i}

二.下取整函数的若干性质.

性质1：对于任意$m\in N_{+}$，有$\lfloor \frac{\lfloor n\rfloor }{x}\rfloor =\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$.

证明：
设$n=kx+r$，其中$n\in N_{+},r\in [0,x)$.
$$\lfloor \frac{\lfloor n\rfloor }{x}\rfloor =k+\lfloor \frac{\lfloor r\rfloor }{x}\rfloor =k=k+\lfloor \frac{r}{x}\rfloor =\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$$

证毕.

性质2：对于任意$n\in N_{+}$，$\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$的取值只有最多$2\sqrt{n}$种，其中$x\in N_{+}$.

证明：
1.当$x\le \sqrt{n}$时，发现k的取值最多只有$\sqrt{n}$种了，自然$\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$的取值只有$\sqrt{n}$种.
2.当$x>\sqrt{n}$时，发现$\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \le \sqrt{n}$，所以下取整后的取值只有$\sqrt{n}$种.
综1,2所述，情况总共有$2\sqrt{n}$种.
证毕.


三.除法分块.

考虑下面的和式：
$$\sum _{i=1}^{n}f\left(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \right)$$

假设我们能够$O(1)$计算$f(n)$，则在$O(n)$的时间复杂度内就可以求出上面的式子.

但是我们如果不满足于这个速度呢？能不能更快？

根据性质2，我们发现$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$只有$O(\sqrt{n})$种取值，而$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$相同时，它们对应的$f(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$也是相等的，也就是说$f(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$也只有$O(\sqrt{n})$种取值.

但是我们如何确定每种$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$出现了多少次呢？

显然当$k$确定时，所有满足$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =k$的$i$是一个区间，现在问题是如何求出区间的两个端点.

我们考虑一个做法，首先第一个区间的左端点必然为$1$，而求出了右端点后，下一个区间就是这个区间的右端点$+1$了.

现在问题只剩下如何用左端点推出右端点了.

假设此时左端点为$l$，右端点为$r$，那么有$\lfloor \frac{n}{l}\rfloor =\lfloor \frac{n}{r}\rfloor$，且$l$最小而$r$最大，即$\frac{n}{l}$最大而$\frac{n}{r}$最小.显然此时就有：
$$r=\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{l}\rfloor }\rfloor$$

代码如下：

int Div_block(int n){
  int res=0;
  for (int l=1,r;l<=n;l=r+1){
    r=n/(n/l);
    res+=(r-l+1)*f(n/l);
  }
  return res;
}

四.类欧几里得算法.

咕.