Codeforces 494 B Obsessive String题解（KMP+DP）

题目：CF 494 B.
题目大意：给定两个字符串$S$和$T$，在$S$中抽取几个不相交的子串，使得$T$均是这些子串的子串，问有多少种方案.
$1\le |S|,|T|\le 10^5$.

仔细一看感觉题目好像比较难，但看完题解后感觉这也是一道比较容易的套路题，KMP与DP结合的题做的少啊…

首先很容易想到第一个串的子串必须包含第二个串，就很自然想到用KMP将第二个串在第一个串中出现的位置都找出来，那么所有的子串都必须包含这些位置.

考虑计算出一个数组$val[i]$表示第$i$个字符前最近的匹配点（第$i$个点不一定要匹配），发现这个数组可以很容易用KMP求出匹配点后稍微处理一下求出.

考虑应用$val$数组，设$f[i]$表示到前$i$个字符的方案数（所选子串中不一定要包含第$i$个字符），然后很容易发现这个状态的转移有两种情况：
1.去掉第$i$个字符，也就是$f[i-1]$.
2.找到最近的匹配点$val[i]$，考虑$f[1..val[i]-1]$，发现可以只选串$[val[i]..i]$或者在$f[1..val[i]-1]$后面直接加入这个串.

所以转移就是：
$$f[i]=f[i-1]+val[i]+\sum _{j=1}^{val[i]-1}f[j]$$

转移出来之后，发现答案就是$f[n]$了，所以直接输出就好.

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=100000;
const LL mod=1000000007;

char s[N+9],t[N+9];
int n,m,nxt[N+9];
LL f[N+9],sum[N+9],val[N+9];

void add(LL &a,LL b){a+=b;while (a>=mod) a-=mod;}

void self_mate(){
  int j=0;
  nxt[1]=0;
  for (int i=2;i<=m;++i){
    while (t[i]^t[j+1]&&j>0) j=nxt[j];
    if (t[i]==t[j+1]) ++j;
    nxt[i]=j;
  }
}

void mate(){
  int j=0;
  for (int i=1;i<=n;++i){
    while (s[i]^t[j+1]&&j>0) j=nxt[j];
    if (s[i]==t[j+1]) ++j;
    if (j==m){
      val[i]=i-m+1;
      j=nxt[j];
	}
  }
}

void solve(){
  for (int i=1;i<=n;++i)
    if (val[i]==0) val[i]=val[i-1];
  for (int i=1;i<=n;++i){
  	f[i]=f[i-1];
  	if (val[i]) add(f[i],sum[val[i]-1]+val[i]);
  	add(sum[i],sum[i-1]+f[i]);
  }
}

Abigail into(){
  scanf("%s",s+1);
  scanf("%s",t+1);
  n=strlen(s+1);
  m=strlen(t+1);
}

Abigail work(){
  self_mate();
  mate();
  solve();
}

Abigail outo(){
  printf("%I64d\n",f[n]);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}