Fibonacci数相关

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一.Fibonacci数的定义.

Fibonacci数：Fibonacci数 $f_n$ 定义为初值为 $f_0=0,f_1=1$ 且在 $n > 1$ 时递推公式为 $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$ 的数列.

这个数的组合意义可以理解为一个 $1 * (n - 1)$ 的空间用 $1 * 1$ 和 $1 * 2$ 的砖块填满的方案数.

二.Fibonacci数通项公式.

可以直接用特征方程来求解Fibonacci数列的通项公式，这里仅给出其公式：
$f_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}$

三.Fibonacci数的若干性质.

性质1： $\sum_{i=0}^{n}f_i=f_{n+2}-1$ .

证明：
考虑数学归纳法：
1. $n = 0$ 时性质显然成立.
2.当满足 $n > 0$ 时，假设 $k < n$ 时均满足性质，则 $k = n$ 时：
$\sum_{i=0}^{k}f_i=f_k+\sum_{i=0}^{k-1}f_i\\ =f_k+f_{k+1}-1\\ =f_{k+2}-1$

证毕.

性质2：当且仅当 $3 ∣ n$ 为 $f_n$ 为偶数.

证明：
显然 $n\leq 2$ 时性质成立.
那么对于 $n > 2$ ，有三种情况：
1. $f_{3k}=f_{3k-2}+f_{3k-1}$ ，奇 $+$ 奇 $=$ 偶.
2. $f_{3k+1}=f_{3k-1}+f_{3k}$ ，奇 $+$ 偶 $=$ 奇.
2. $f_{3k+2}=f_{3k}+f_{3k+1}$ ，偶 $+$ 奇 $=$ 奇.
证毕.

性质3： $\sum_{i=1}^{n}f_{2i-1}=f_{2n}$ .

性质4： $\sum_{i=1}^{n}f_{2i}=f_{2n+1}-1$ .

性质3,4均可类比性质1用数学归纳法证明.

根据性质3,4还可以求出 $\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i}f_{i}$ .

性质5： $\sum_{i=0}^{n}f_i^2=f_{n}f_{n+1}$ .

证明：
考虑数学归纳法：
1. $n = 0$ 时性质显然成立.
2.当 $n > 0$ 时，若 $k < n$ 时性质成立，则 $k = n$ 时有：
$\sum_{i=0}^{n}f_i^2=f_n^2+\sum_{i=0}^{n-1}f_i^2\\ =f_n^2+f_{n}f_{n-1}\\ =f_n(f_{n}+f_{n-1})\\ =f_nf_{n+1}$

证毕.

性质6： $m|n\Rightarrow f_m|f_n$ .

证明：
为了证明这个性质，我们先给出一个引理.
引理1： $f_{n+m}=f_{n-1}f_{m}+f_{n}f_{m+1}$ .
证明：
考虑数学归纳法：
1. $n = 0, 1, 2$ 时引理显然成立.
2.当 $n > 1$ 时，若 $k < n$ 时引理成立，则 $k = n$ 时有：
$f_{m+k}=f_{m+k-2}+f_{m+k-1}\\ =f_{k-3}f_{m}+f_{k-2}f_{m+1}+f_{k-2}f_{m}+f_{k-1}f_{m+1}\\ =(f_{k-3}+f_{k-2})f_{m}+(f_{k-2}+f_{k-1})f_{m+1}\\ =f_{k-1}f_m+f_{k}f_{m+1}$

证毕.

设 $n = k m$ ，考虑数学归纳法：
1.显然 $k = 0, 1$ 时性质成立.
2.当 $k > 1$ 时，若 $t < k$ 时性质成立，则 $t = k$ 时用引理1拆开 $f_{tm}$ ：
$f_{tm}=f_{m+(t-1)m}=f_{m-1}f_{(t-1)m}+f_{m}f_{(t-1)m+1}$

然后开始推导：
$\because f_{m}|f_{m}$ 且 $f_{m}|f_{(t-1)m}$
$\therefore f_{m}|f_{m-1}f_{(t-1)m},f{m}|f_{m}f_{(t-1)m+1}$
$\therefore f_{m}|f_{m-1}f_{(t-1)m}+f{m}|f_{m}f_{(t-1)m+1}$
$\therefore f_{m}|f_{tm}$
证毕.

性质7： $gcd(f_n,f_m)=f_{gcd(n,m)}$ .

证明：
假设 $n < m$ ，根据引理1拆开 $f_m$ ：
$f_m=f_{n+m-n}=f_{n-1}f_{m-n}+f_{n}f_{m-n+1}$

由于 $f_n|f_{n}f_{m-n+1}$ ，所以我们有：
$gcd(f_n,f_m)=gcd(f_n,f_{n-1}f_{m-n})$

接下来我们给出一个引理.
引理2： $gcd(f_n,f_{n-1})=1$ .
证明：
$gcd(f_n,f_{n-1})=gcd(f_n-f_{n-1},f_{n-1})\\ =gcd(f_{n-1},f_{n-2})\\ =gcd(f_{n-1}-f_{n-2},f_{n-2})\\ =gcd(f_{n-2},f_{n-3})\\ \cdots\\ =gcd(f_{1},f_{0})\\ =gcd(1,0)\\ =1$

证毕.
然后我们就有：
$gcd(f_n,f_m)=gcd(f_n,f_{m-n})=gcd(f_n,f_{m\,\,mod\,\,n})$

发现这个形式与辗转相除法十分类似，于是就有：
$gcd(f_n,f_m)=gcd(f_{gcd(n,m)},f_0)=f_{gcd(n,m)}$

证毕.

根据性质7，我们还可以推出性质6的逆定理，即 $f_m|f_n\Rightarrow m|n$ .

四.Fibonacci数与组合数.

Fibonacci数列和组合数之间有一个神奇的关系式：
$f_n=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-i-1}{i}$

证明：
令 $g_n=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-i+1}{i}$ ，考虑证明 $g_i=f_i$ .
考虑数学归纳法：
1. $n = 0, 1, 2$ 时显然成立.
2.当 $n > 2$ 时，若 $k < n$ 时成立，则 $k = n$ 时有：
$g_{k-1}+g_{k-2}=\sum_{i=0}^{k-2}\binom{k-i-2}{i}+\sum_{i=0}^{k-3}\binom{k-i-3}{i}\\ =\binom{k-2}{0}+\sum_{i=1}^{k-2}\binom{k-i-2}{i}+\sum_{i=1}^{k-2}\binom{k-i-2}{i-1}\\ =\binom{k-2}{0}+\sum_{i=1}^{k-2}\left(\binom{k-i-2}{i}+\binom{k-i-2}{i-1}\right)\\ =\binom{k-2}{0}+\sum_{i=1}^{k-2}\binom{k-i-1}{i}\\ =\binom{k-1}{0}+\binom{0}{k-1}+\sum_{i=1}^{k-2}\binom{k-i-1}{i}\\ =\sum_{i=0}^{k-1}\binom{k-i-1}{i}\\ =g_k$