题解：LuoguP7229 [COCI 2015/2016 #3] SLON

题意

给定一个能够化简为函数 $f(x)=kx+b$ 的中缀表达式，求最小的 $x$ 使得 $f(x)$ 模 $m$ 为 $P$。

思路

之前喜欢用后缀表达式计算，模拟考时被卡了才知道难受。

表达式求值

本蒟蒻尝试了一下硬算中缀表达式，思路如下：

1. 如果形如 (...)，递归 ...（去除括号），但是不要和 (...)(...)(...) 混了，需要判定一下。
2. 在序列中查找优先级最低的运算符（如有多个取第一个）。
3. 若没有一个运算符和括号，则要么为 x，要么为数字判定即可。

求 $f(x)$ 的方法：

因为直接代入特值可以用上述方法计算，我们考虑：

存在两个式子 $f(0)=b$ 和 $f(1)=k+b$，且 $f(0)$ 和 $f(1)$ 可求得。

解得 $b=f(0)$ 和 $k=f(1)-f(0)$

最后讲一下 $f(x)$ 已知时如何求出 $ans$：

1. 暴力枚举区间 $[0,m)$
2. exgcd 计算

综上，本题得解。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5;
int p,m;string s;
int u[MAXN+1],cnt=0,lk[MAXN+1];
int Calc(int l,int r,int xnum){
	// cout<<l<<' '<<r<<"TTTT\n";
	int i=upper_bound(u+1,u+1+cnt,l)-u;
	if(s[l]=='('){
		bool fg=true;
		while(u[i]<=r){
			if(lk[u[i]]>lk[l]){
				i++;
				continue;
			}
			if(s[u[i]]=='+'||s[u[i]]=='-'||s[u[i]]=='*'){
				fg=false;break;
			}
			i++;
		}
		if(fg)return Calc(l+1,r-1,xnum);
	}
	int p=-1;
	while(u[i]<=r){
		if(lk[u[i]]>lk[l]){
			i++;
			continue;
		}
		if(s[u[i]]=='+'){
			return (Calc(l,u[i]-1,xnum)+Calc(u[i]+1,r,xnum)+m)%m;
		}
		if(s[u[i]]=='-'){
			return ((Calc(l,u[i]-1,xnum)-Calc(u[i]+1,r,xnum))%m+m)%m;
		}
		if(s[u[i]]=='*')p=u[i];
		i++;
	}
	if(p==-1){
		if(l==r&&s[l]=='x')return xnum;
		int num=0;
		for(int i=l;i<=r;i++)num=(num*10+s[i]-'0')%m;
		return num;
	}
	return (1ll*Calc(l,p-1,xnum)*Calc(p+1,r,xnum))%m;
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-a/b*y;
	return;
}
int main(){
	cin>>s;
	cin>>p>>m;
	int tmp=0;
	for(int i=0;i<(int)s.length();i++){
		if(s[i]=='+'||s[i]=='-'||s[i]=='*')u[++cnt]=i;
		lk[i]=tmp;
		if(s[i]=='('){
			lk[i]=tmp;
			tmp++;
		}
		else if(s[i]==')'){
			tmp--;
			lk[i]=tmp;
		}
		else lk[i]=tmp;
	}
	int b=Calc(0,(int)s.length()-1,0);
	int bplusk=Calc(0,(int)s.length()-1,1);
	int k=bplusk-b;
	// int k,b;cin>>k>>b;B
	// cout<<"f(x)="<<k<<"x+"<<b<<"$$$\n";
	int t=__gcd(k,-m);
	int xx,yy;
	exgcd(k,-m,xx,yy);
	long long x0=1ll*xx*(p-b)/t,y0=1ll*yy*(p-b)/t;
	// cout<<x0<<' '<<y0<<"vvvv\n";
	while(x0<0){
		if(t<0){
			x0-=m/t;
			y0-=k/t;
		}
		else{
			x0+=m/t;
			y0+=k/t;
		}
	}
	while(x0>0){
		if(t>0){
			if(x0-m/t<0)break;
			x0-=m/t;
			y0-=k/t;
		}
		else{
			if(x0+m/t<0)break;
			x0+=m/t;
			y0+=k/t;
		}
	}
	printf("%lld\n",x0);
	// cout<<b<<"***\n";
	return 0;
}