[JZOJ4841] 平衡的子集

Description

夏令营有N个人，每个人的力气为M(i)。请大家从这N个人中选出若干人，如果这些人可以分成两组且两组力气之和完全相等，则称为一个合法的选法，问有多少种合法的选法？（注意是选法而不是分法）
40%的数据满足：1<=M(i)<=1000；
对于100%的数据满足：2<=N<=20,1<=M(i)<=100000000

Solution

设选的人中分为两个集合$A,B$
那么每个人有三种状态，不选，$A$集，$B$集

我们知道$\Large\sum\limits_{i\in A}a[i]=\sum\limits_{j\in B}a[j]$

然后移到左边来
$\Large\sum\limits_{i\in A}a[i]-\sum\limits_{j\in B}a[j]=0$

设每个人的三种状态分别为$0,1,-1$，也就是系数

然后就搜索，得数和状态丢到哈希表里，最后再做一次统计答案。

然而这样会T，因为我们计算了大量状态是有重叠部分的，这一部分状态的计算非常浪费。

因此我们只需要先搜左边10个，再搜右边10个判断即可

注意有一个优化，就是有可能出现状态和得数都相等的情况

例如2,2,2
1,-1,1和1,1,-1的得数都为2，因此这一部分暴力判断一下是否在该位置中存在，又可以删去大量冗余状态。

我之前不判重就被卡了1s~

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 22
#define M 1100000
#define mo 10000007
#define INF 10000000000
#define LL long long
using namespace std;
int sum[M],n,hnum[mo],fs[mo],n1;
LL a[N];
struct node
{
    int p,nt,lt;
    LL s;
}h[1<<21];
void dfs(int k,int s,LL sm)
{
    if(k>n/2) return;
    fo(i,-1,1)
    {
        if(i!=0) 
        {
            s+=1<<k-1;
            sm+=i*a[k];
            if(sm==INF) sum[s]=1;
            int j=fs[sm%mo],bz=1;
            while(j>0)
            {
                if(h[j].s==sm&&h[j].p==s) 
                {
                    bz=0;
                    break;
                }
                j=h[j].nt;
            }
            if(bz)
            {
                h[++n1].p=s;
                h[n1].s=sm;
                h[n1].nt=fs[sm%mo];
                h[fs[sm%mo]].lt=n1;
                fs[sm%mo]=n1;
                hnum[sm%mo]++;
                dfs(k+1,s,sm);
            }
            s-=1<<k-1;
            sm-=i*a[k];
        }
        else dfs(k+1,s,sm);
    }
}
void get(int k,int s,LL sm)
{
    if(k>n) return;
    fo(i,-1,1)
    {
        if(i!=0)
        {
            s+=1<<k-1;
            sm+=i*a[k];
            if(sm==INF) sum[s]=1; 
            LL pt=sm%mo;
            int j=fs[pt];
            while(j>0){if(h[j].s==sm) sum[h[j].p+s]=1;j=h[j].nt;}
            get(k+1,s,sm);
            s-=1<<k-1;
            sm-=i*a[k];
        }
        else get(k+1,s,sm);
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    fo(i,1,n) scanf("%lld",&a[i]);
    dfs(1,0,INF);
    get(n/2+1,0,INF);
    int ans=0;
    fo(i,1,(1<<n)-1) ans+=sum[i];
    cout<<ans;
}