求自然数n以内的全部素数(一般算法、埃氏筛法和欧拉筛法)

    质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。合数是由若干个质数相乘而得到的。

    质数的判断：

    1、只能被1和本身整除。

    2、不能被小于它的平方根的所有素数整除就是素数。

一、常规算法

    直接用定义做，判断n是否为素数，就用2~n-1去除n，如能被整除则不是素数，否则为素数。代码如下：

    求n以内的所有素数的时间复杂度：O(n²)

def isprime(n):
    for j in range(2, n):     # 2~n-1，不包括n
        if (n % j == 0):      # 能被2~n-1(不包括n)整除，不是素数
            return False
    else:
        return True           # 循环正常结束是素数(没有被整除)

P = []
for i in range(2, 10**8+1):   # 求10⁸以内的素数
    if isprime(i):
        P.append(i)

print(P)

二、常规优化算法

    上述算法中循环次数为2~n-1，共n-2次。因为因数是成对出现的，一个小于等于算术平方根，另外一个大于等于算术平方根。所以只需测试小于等于算术平方根的因数是否存在，如存在则不是素数，否则就是素数。代码如下：

    求n以内的所有素数的时间