hdu 4549

M斐波那契数列

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Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

 

Sample Input

  
  

   
   0 1 0
6 10 2
  
  

 

Sample Output

  
  

   
   0

   
   
60
   
   


   
   
思路：
   
   

   
   
1. 首先得出封闭形式：
   
   
F[n]=a  (n=0)
   
   
F[n]=b (n=1)
   
   
F[n]=a^Fib[n-1]*b^Fib[n]  (n>1)
   
   
2. 发现1000000007是质数，用费马小定理，得
   
   
F[n]%m=a^(Fib[n-1]%(m-1))*b^(Fib[n]%(m-1))%m
   
   
3. f[n]%(m-1)的计算用矩阵快速幂
   
   
4. a^x的 计算用快速幂
   
   
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2;
long long int mod=1000000007;
struct M{
	long long int m[N][N];
};
M I={1,0,
	 0,1
	};  
M A={1,1,
	 1,0};
M fun(M a,M b)            //a*b矩阵 
{
	M c;
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
		for(int j=0;j<N;j++)
		{
			c.m[i][j]=0;
			for(int k=0;k<N;k++)
			{
				c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j]%(mod-1);
			}
			c.m[i][j]%=(mod-1);
		}
	}
	return c;
}
M power( int k)                   //快速矩阵幂 
{
	M ans=I,p=A;
	while(k)
	{
		if(k&1)
		{
			ans=fun(ans,p);
			k--;
		}
		k>>=1;
		p=fun(p,p);
	}
	return ans;
}
long long int power_mod(long long int x,long long int n )  //快速幂取模 
{
	long long int ans=1;
	while(n)
	{
		if(n&1) ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod;
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	long long int n,a,b;
	                                  
	while(~scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&n))
	{
		M ans;
		ans=power(n);             //注意 
		long long int ans1,ans2;
		ans1=power_mod(a,ans.m[1][1]);
		ans2=power_mod(b,ans.m[1][0]);
		cout<<ans1*ans2%mod<<"\n";
	}
	return 0;
 }