Kruskal算法

问题描述

有一张 $n$ 个顶点、$m$ 条边的无向图，且是连通图，求最小生成树。

算法简析

$Kruskal$ 是一种求最小生成树的算法。
设该图为 $G=(V,E)$。最小生成树即所求为 $G_T=(V_T,E_T)$，因为图是连通的，所以最小生成树会覆盖所有的顶点，即 $V==V_T$。$G_T$ 的真子图 $G_A=(V_A,E_A)$，$V_A==V$，构成森林（注意，这里与 $Prim$ 并不一样。$G_A$ 初始状态就覆盖所有顶点，每个顶点各自为一棵树）。
因为 $G_A$ 已经覆盖了所有顶点，所以 $G-G_A$ 只剩下 $G$ 中所有的边 $E$。为了让 $G_A$ 从森林变成一棵树，我们需要从 $E$ 中挑选边加入 $G_A$。例如，我们选择 $e(u,v)$ 加入 $G_A$，本来独立的 $u$ 和 $v$ 被连接起来，相当于 $u$ 和 $v$ 各自所在的两棵树要合并成一棵树。
为了得到最小生成树，我们采用贪心策略，每次都从 $E$ 中挑选最短的边 $e(u,v)$，如果 $u$ 和 $v$ 还不在一棵树上，就将该边加入 $G_A$，同时合并两棵树。
为了能够高效地合并树，我们采用并查集。

代码

typedef struct
{
    int from, to, worth;
} edge;

vector<edge> E;

// Kruskal
bool cmp(const edge &a, const edge &b)
{
    return a.worth < b.worth;
}

int kruskal(void)
{
    int ret = 0;
    init();
    sort(E.begin(), E.end(), cmp);          // 升序
    for (int i = 0; i < E.size(); i++)
    {
        edge e = E[i];
        if (!same(e.from, e.to))            // 判断是否在一棵树中
        {
            ret += e.worth;
            unite(e.from, e.to);            // 合并树
        }
    }
    return ret;
}

---

完