二、初识算法

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2.1 算法的基本特性

2.1.1 输入输出

零个或多个输入，至少有一个或多个输出。

2.1.2 有穷性

不会出现无限循环，运行时间可以接受。

2.1.3 确定性

每一个步骤都有确定的含义。

2.1.4 可行性

每一个步骤都是可行的。

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2.2 算法的设计要求

2.2.1 正确性

• （1）无语法错误。
• （2）对于合法输入，产生满足要求的输出结果。
• （3）对于非法输入，得出满足规格说明的结果。
• （4）对于精心选择甚至刁难的数据，都有满足要求的结果。

2.2.2 可读性

便于阅读、理解和交流。

2.2.3 健壮性

对于非法输入，能做出正确的处理。

2.2.4 时间效率高和存储量低

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2.3 算法效率的度量方法

2.2.1 事后统计方法

通过设计好的测试程序和数据，比较不同算法的运行时间。
缺陷：
（1）花费大量的时间和精力。
（2）时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素，可能会掩盖算法本身的优劣。
（3）测试数据设计困难，且需要规模很大的数据（因为程序的运行时间与测试数据的规模有很大关系）

2.2.2 事后分析估算方法

依据统计方法对算法进行估算。

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2.3 函数的渐进增长

2.3.1 定义

给定两个函数$f(n)$和$g(n)$，如果存在一个整数$N$，使得对于所有的$n>N$，$f(n)$总是比$g(n)$大，那么，我们说$f(n)$的渐进增长快于$g(n)$。

p.s. 渐进增长越快，算法越差。

2.3.2 比较函数的渐近增长性

（1）忽略常数
（2）忽略与最高次项相乘的常数
（3）忽略其他次要项
（4）关注最高次项的阶数

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2.5 算法的时间复杂度（大O记法）

2.5.1 定义

理解：我们通过函数$T(n)$，即语句总的执行次数，表示一个算法的时间复杂度。
但是，$T(n)$可能含有多个项，还有常数，不容易观察比较。
因此，我们希望使$T(n)$变得更加简单。我们找到另一个函数$f(n)$，$T(n)$和$f(n)$的增长率相同。我们用$O(f(n))$表示渐进时间复杂度。
所以，$T(n)$增长越慢，算法越好。

2.5.2 推导大O阶的方法

• 常数阶$O(1)$
  算法一：
  

  运行次数$T(n)=3$
  第一步，将常数3改成1；无最高阶项，则复杂度就为$O(1)$。
  算法二：
  

  运行次数$T(n)=12$
  第一步，将常数12改为1；无最高阶项，则复杂度就为$O(1)$。

  像上述两种算法一样，$T(n)$与$n$的大小无关，则算法复杂度就为$O(1)$，又叫常数阶。
  p.s.
  （1）无论常数是多少，都记为$O(1)$。
  （2）对于单纯的分支结构（不包含在循环结构中），时间复杂度也为$O(1)$。

• 线性阶
  
  for循环中的代码执行$n$次，则时间复杂度为$O(n)$。

• 对数阶$O(logn)$
  
  $2^x=n$
  $x=logn$
  时间复杂度为$O(n)$。

• 平方阶$O(n^2)$
  算法一：
  
  嵌套for循环，内外层都为$n$次，时间复杂度为$O(n^2)$。
  算法二：
  
  嵌套for循环，外层为$m$次，内层为$n$次，时间复杂度为$O(m\ast n)$。
  算法三：
  

  i	0	1	…	n - 1
  执行次数	n	n - 1	…	1

  总执行次数为
  $$n+(n-1)+...+1=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$$
  依照大$O$推导法，第一步，无常数，不考虑；第二步，保留最高阶项，$\frac{n^2}{2}$；第三步，去掉该项的系数即$\frac{1}{2}$。时间复杂度为$O(n^2)$。

  结论：循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以循环运行的次数。

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2.5.3 常见的时间复杂度

大小关系：

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完