带相关噪声时变系统最优Kalman滤波和最优白噪声估值器

我前面博客中所有kalman滤波算法都是针对状态空间模型中，系统噪声和测量噪声互不相关，当现实生活中可能会出现系统噪声和测量噪声相关的情况出现，还用标准kalman滤波迭代式子就会出现估计误差较大的情况，不太适用，所以这里讨论当相关噪声系统情况下，kalman滤波的改进算法。

考虑线性离散时变随机控制系统：

                                                  

                                                           

假设1：w(t)和v(t)是零均值的相关白噪声：

    

• 定理1：对于上述系统，相关噪声情况下，最优递推Kalman预报器为：

其中有：

证明过程：

（1）

（2）

则有：

（3）

带入上式（1）可得上述定理1的递推式。

（4）

由式4可得：

（5）

• 定理2：相关噪声情况下，最优递推Kalman滤波器如下：

证明：

（6）

其中：

（7）

则有：

（8）

（9）

由此定理得证。

综上可得相关噪声的kalman滤波迭代式。

对于相关噪声的处理方式还有如下算法：

• 定理3：最优递推kalman预报器

（10）

其中：

                       

                                  

           

其一步预测方差阵如下：

证明过程：

因为：

（11）

则有：

         （12）

这里不妨令：

                             （13）

则有：

                          （14）

这里我们不妨令相关噪声为0，则有:

                                                  （15）

由此可得新系统如下：

（16）

其中有：

（17）

根据标准kalman滤波公式可得：

（18）

对于一步预测方差阵，证明过程如下：

（19）

（20）

由此定理得证。

• 定理4：相关噪声情况下，最优kalman滤波器：

该定理按照上述推理过程能够很快出来，这里就不加说明。