【嵌入式底层知识修炼】高性能的ADC一阶滞后滤波算法

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越有魅力的事物，往往存在一种“反差”，即其存在两个相互关联的特性，但是各自表现得十分不同

————小白

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  一阶滞后滤波又称作RC低通滤波、一阶滤波、一阶惯性滤波、一阶低通滤波等，下文统一称为一阶滞后滤波。

01 - 一阶滞后滤波算法简介

  嵌入式中的ADC数字滤波算法有很多，搜索一下会有常用的10种算法，一阶滞后滤波是其中一种，也是大名鼎鼎的一种，在这10种算法中，虽然一直有人评论其各有优缺点，各有使用场合，但是如果在条件十分受限的实际嵌入式项目中让我选择一种，即使知道或不知道数据源的特性，我都会毫不犹豫地选择一阶滞后滤波算法，数学算法公式为：
$$Y_n=\alpha X_n+(1-\alpha )Y_{n-1}\text{\hspace{1em}(1)}$$
  式中：$Y_n$是本次滤波输出值，$\alpha$是滤波系数，$X_n$是本次采样，$Y_{n-1}$是上一次滤波输出。
  公式十分简单，只有乘、加的操作并且只有一条计算公式，没有额外的数据计算。

02 - 硬件低通滤波器

  下图为一阶滞后滤波所对应的硬件低通滤波器等效电路，其中：

• Input相当于于$X_n$：作为信号源的输入
• Output相当于$Y_n$：作为目标信号的输出
• 电阻相当于$\alpha$：作为滤波系统，设计实验测试阶段可调
• 电容相当于$Y_{n-1}$：用于储存上一次的输出值

  如果在原理图中看到类似的结构，可以认为添加了硬件低通滤波器，此等效电路算是比较简单的一种，还有比较复杂的需要有三极管等电子元件。

03 - 稳定滤波的原理

  滤波的目标是过滤掉数据的各种干扰，得到期望的稳定值，使得系统收敛。下面用坐标轴对公式作一个解释，$x$轴作为时间Time，$y$轴作为AD值Value，AD采集过程中我们能够得到一段采集的数据输入输出记录：

  就$x$轴某一个时刻$T$而言，我们只能得到当前时刻$T$的输入值Input和前面时刻的$(T-1，T-2，\dots \dots 1)$输出值Output，我们把当前时刻得到的输入值记为$X_n$，紧挨着的上一个时刻的输出值记为$Y_{n-1}$。滤波的目标是得到一个稳定值，何为稳定？什么样的值是稳定的？在不同时刻是否不同？根据一阶滞后滤波算法，如果要回答这些问题，无论如何我们只能假设在上一个时刻的输出值$Y_{n-1}$是稳定值。

因为除开第一个数据，所有数据都有前驱，当前值的滤波与前驱有关，那么随着时间的推移，所有的数据历史会形成一个链条，相邻的项是有联系的，因此只要某个时刻的值发生了变化，那么后面的值都会随之变化，如果我们限定了这些变化的敏感度（与α有关），比如降低敏感度，那么在一个有限的波形内由于变化不敏感，就会过滤掉波动的数据，得到一个认为是收敛的值

  根据假设，因为$Y_{n-1}$是稳定值，所以$X_n$与它存在一个误差$e$，也就是：
$$X_n=Y_{n-1}+e\text{\hspace{1em}(2)}$$
  其中$e$可正可负，我们代入公式（1）得到：
Y n = α X n + ( 1 − α ) Y n − 1 = α ( Y n − 1 + e ) + ( 1 − α ) Y n − 1