梯度下降求解逻辑回归(Python)

Logistic Regression

The data

我们将建立一个逻辑回归模型来预测一个学生是否被大学录取。假设你是一个大学系的管理员，你想根据两次考试的结果来决定每个申请人的录取机会。你有以前的申请人的历史数据，你可以用它作为逻辑回归的训练集。对于每一个培训例子，你有两个考试的申请人的分数和录取决定。为了做到这一点，我们将建立一个分类模型，根据考试成绩估计入学概率。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

import os
path = 'data' + os.sep + 'LogiReg_data.txt'
pdData = pd.read_csv(path, header=None, names=['Exam 1', 'Exam 2', 'Admitted'])
pdData.head()

pdData.shape

(100, 3)

positive = pdData[pdData['Admitted'] == 1] # returns the subset of rows such Admitted = 1, i.e. the set of *positive* examples
negative = pdData[pdData['Admitted'] == 0] # returns the subset of rows such Admitted = 0, i.e. the set of *negative* examples

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,5))
ax.scatter(positive['Exam 1'], positive['Exam 2'], s=30, c='b', marker='o', label='Admitted')
ax.scatter(negative['Exam 1'], negative['Exam 2'], s=30, c='r', marker='x', label='Not Admitted')
ax.legend()
ax.set_xlabel('Exam 1 Score')
ax.set_ylabel('Exam 2 Score')

The logistic regression

目标：建立分类器（求解出三个参数 $\theta_0 \theta_1 \theta_2$）

设定阈值，根据阈值判断录取结果

要完成的模块：
- sigmoid : 映射到概率的函数

• model : 返回预测结果值

• cost : 根据参数计算损失

• gradient : 计算每个参数的梯度方向

• descent : 进行参数更新

• accuracy: 计算精度

sigmoid 函数

$$g(z) = \frac{1}{1+e^{-z}}$$

def sigmoid(z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

nums = np.arange(-10, 10, step=1) #creates a vector containing 20 equally spaced values from -10 to 10
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,4))
ax.plot(nums, sigmoid(nums), 'r')

Sigmoid

• $g:\mathbb{R} \to [0,1]$
• g(0)