3d数学基础-矩阵

本文通过图表形式详细阐述了矩阵、矩阵转置、正交矩阵等核心概念及其相互间的关系,为读者提供了一个清晰的数学矩阵知识框架。

下图 描述矩阵、矩阵转置、正交矩阵、可逆矩阵、余子式、代数余子式、行列式、伴随矩阵 之间的关系。



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### 3D 数学中的矩阵基础知识 在三维图形处理中,矩阵扮演着至关重要的角色。当标量与矩阵相乘时,结果是矩阵的每一个元素都乘以该标量[^1]。 对于变换操作而言,旋转和平移可以通过计算两个点集之间的旋转变换矩阵以及平移向量来实现[^2]。这些变换通常用于物体的位置调整和方向改变,在计算机图形学中有广泛应用。 #### 基础概念 - **单位矩阵**:是一个方阵,其主对角线上的元素均为1,其余位置皆为0。任何矩阵与其对应的单位矩阵相乘都会得到原矩阵本身。 - **转置矩阵**:如果有一个m×n阶矩阵A,则存在一个n×m阶矩阵B使得B(i,j)=A(j,i),那么称B为A的转置矩阵- **逆矩阵**:给定一个可逆的n×n阶矩阵M,若能找到另一个同样大小的矩阵N满足MN=NM=E(E表示单位矩阵),则N称为M的逆矩阵。 #### 变换应用 为了更好地理解如何利用矩阵来进行几何变换,可以考虑以下几种常见情况: - **缩放(Scale)**:通过构建特定形式的对角矩阵并将其应用于目标对象上,能够实现沿各个轴的比例变化效果; - **旋转(Rotation)**:绕指定坐标轴按一定角度转动模型视图; - **平移(Translation)**:移动整个场景内的实体而不影响它们之间相对关系的一种方式。 ```cpp // C++ code snippet demonstrating basic matrix operations using GLM library. #include <glm/glm.hpp> using namespace glm; mat4 scaleMatrix = mat4(2.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 2.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 2.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f); vec3 pointToTranslate; pointToTranslate.x += deltaX; // Translate along X-axis by 'deltaX' ``` 上述代码片段展示了使用GLM库执行基本矩阵运算的方法,包括创建一个放大两倍的缩放矩阵,并演示了如何沿着X轴平移某个顶点。
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