双连通分量 总结及例题

点双连通和边双连通

• 连通的概念：在无向图中，所有点能互相到达
• 连通分量：互相联通的子图
• 点双连通：删掉一个点之后，图仍联通
• 边双连通：删掉一条边之后，图仍联通

tarjan 算法：

该算法是R.Tarjan发明的。对图深度优先搜索， dfn[i]为第i个结点在搜索树中的深度，low[i]为第i个结点的子树的所有儿子连接到的最上面的结点层数。根据定义，则有：

Low(u)=Min
{
    dfn(u)，
    dfn(v) ，(u,v)为后向边(返祖边) 等价于 DFS(v)<DFS(u)且v不为u的父亲节点
    Low(v) ，(u,v)为树枝边(父子边)
}

一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)
(1) u为树根，且u有多于一个子树。
(2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得DFS(u)<=Low(v)。
一条无向边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足DFS(u)

求双连通分量

1. 对于点双连通分量，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分量求出。建立一个栈，存储当前双连通分量，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边(非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足DFS(u)<=Low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分量，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分量支。
   （这种还没有实现过，不过我认为显然如果把割点标记出来，跑dfs也能求出点双连通分支，虽然代码量会上升，不过还挺好打的，下面例题二类似）
2. 对于边双连通分量，求法更为简单。只需在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分量。桥不属于任何一个边双连通分量，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分量。

构造双连通图

1. 一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1
2. 统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。

模板

int root, cnt;
int vis[maxn], dfn[maxn], low[maxn];
bool cut[maxn];
//vector<pair<int, int>>bridge;

void dfs(int u, int fa)
{
    int son=0;
    vis[u]=1;
    dfn[u]=low[u]=++cnt;
    for (int i=0; i<G[u].size(); i++)
    {
        int v=G[u][i];
        if (v==fa) continue;
        if (vis[v]==1) low[u]=min(low[u], dfn[v]); //返祖边
        if (vis[v]==0)
        {
            dfs(v, u);
            son++;
            low[u]=min(low[u], low[v]);
            if ( (u==root && son>1) || (u!=root && low[v]>=dfn[u]))
            {
                cut[u]=true;
                //if(low[v] > dfn[u]) bridge.push_back({u, v}); //(u, v) 是桥
            }
        }
    }
    vis[u]=2;
}

void tarjan_init()
{
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(cut, 0, sizeof(cut));
    cnt=0; root=1;
    //bridge.clear();
}

例题

POJ1144【基础】
题目大意：
给出一个无向图，求出有多少个割点。
输入：
有若干组测试数据。每一组测试数据的第一行有一个整数 n，表示有 n
（1<=n<100）个点，n=0 时测试数据结束。接下来有若干行，每一行第一个整
数 u 表示这一行描述的是以 u 为起点的边，接下来有若干个整数 vi 表示有一条
边 u-vi，u=0 时表示这一组测试数据结束。
输出：
对于每一组测试数据，输出一个整数，即有多少个割点。

模板题，没太多要说的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const