洛谷 P6187 最小环

洛谷 P6187[2020 NOI Online 提高组] 最小环

题目描述：

思路：

首先，我们先随便选一组n和k，来画图理解一下本题的题意。

如图，我们以n = 10, k = 4的情况为例，先从1号点开始“跳”，每次向后跳4个数，这样就形成的图中红色五角星的路径。但是此时仍有一些数没有被走到过，因此我们又从2号点开始“跳”，跳完一个五角星后刚好把所有数都走到了一次。
根据上面的模拟，我们可以发现：将所有数围成一个环，那么我们只需要以若干个不同的数为起点，每次向后跳k个数地走，便可以走出若干个环，且这些环刚好可以把所有数走一边并不重复。
例如上图中的两个环为{1 -> 5 -> 9 -> 3 -> 7 -> 1}和{2 -> 6 -> 10 -> 4 -> 8 -> 2}。
而经过我们的观察与多次模拟后会发现，环的个数为gcd(n, k)。
也就是说，我们可以将所有数分成 gcdn, k) 个环，每个环中有n / gcd(n, k)个数。

那么现在，我们来看一下如何在这些环中求得最大值。
根据贪心的思想，在所有数已经确定的前提下，我们自然想要让最大的两个数乘在一起。而对于一个环中的任意一个数，它可以与它的前一项和后一项乘在一起。例如：
设一个环为{…-> a -> b -> c -> …}，那么这三个数就可以贡献一共(a * b + b * c)点权值。
所以在所有数中最大的这种三元组为：
{max(2), max(1), max(3)}，其中max(i)指的是所有数中第i大的数。根据这种思想，max(4)就应该放在max(2)左边，max(5)就应该放到max(3)右边… …直到整个环被装满。
也就是说，假设一共有loops个环，每个环中有nums个数，那么第一个环中存储的就是max(1)到max(nums)，第二个环中存储的是max(nums + 1)到max(2 * nums + 1)… …第loops个环中存储的是max(loops * nums - nums - 1)到max(loops * nums)。这样我们就可以构造出一个最大方案了。

优化：

光是按照上面的思路来写，会超时。所以我们需要对搜索进行优化。
由于所有数字的大小和个数都已经固定了，所以如果有两个k使得两种情况下的总环数相等，那么它们的答案一定是相等的。例如：
n = 10
k1 = 4
k2 = 2
loops1 = gcd(n, k1) = 2
loops2 = gcd(n, k2) = 2 = loops1
则ans1 == ans2。
因此我们可以用记忆化搜索，用f[nums]存储当每个环中的数字个数为nums时的答案。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
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