【字典序最小最大权独立集】uva12288

最新推荐文章于 2022-04-18 09:18:51 发布

huyuncong

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分类专栏：图论 uva

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该博客探讨了UVA12288问题，即在有限网格上安排马以实现字典序最小且权值总和最大的不相攻击马的配置。通过行奇偶染色转换为二分图的最大权独立集问题，利用最小割方法和增广路径来确定解决方案的合法性。博客中提到，实际挑战主要在于处理各种约束条件，如强制放置马、负权重等，作者在比赛中经历了多次重构和手动测试，最终成功解决此问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：在n*m的网格上填马，其攻击范围是±3，±1这种类型，每个格子有个权值，有些格子可以选，有些不能选，求一种字典序最小的，马互不攻击的，权值之和最大的一种方案

明显按行奇偶染色，就变成了二分图上的最大权独立集的问题，这个是个经典模型，然后考虑怎么输方案，按字典序枚举每个位置，如果想让这个位置必须选，那么就是它连向源或汇的边变为oo，使得最小割割不开，则判断其合法性就是看有没有一条到汇（源）点的增广路，也就是一次bfs就可以了，因此判断复杂度也是o((n*m)^2)的。比赛的时候还是黄哥机智的提出了这个idea，否则我就得每次暴力流一遍了。

其实这题烦的不是算法，而是各种情况，譬如至少放一个马，或者是有负数，同时你又必须选它之类的，比赛时写了一遍，之后又re了一遍，改到拍不出错之后，又手构了几种情况才终于过了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
const int dx[8]={-1,-3,-3,-1,1,3,3,1};
const int dy[8]={-3,-1,1,3,3,1,-1,-3};
const int oo=1073741819;
using namespace std;
int tail[20000],next[500000],sora[500000];
int flow[1050][1050],col[1050][1050],id[1050][1050],g[2][1050],d[1050],st[1050],w[1050][1050];
int s,t,n,m,ss,tot;
void origin()
{
	s=n*m+1,t=s+1,ss=t;
	for (int i=1;i<=t;i++) tail[i]=i,next[i]=0;
}
void link(int x,int y,int z)
{
	++ss,next[tail[x]]=ss,tail[x]=ss,sora[ss]=y,next[ss]=0;
	++ss,next[tail[y]]=ss,tail[y]=ss,sora[ss]=x,next[ss]=0;
	flow[x][y]=z,flow[y][x]=0;
}
void doit(int x,int y)
{
 	for (int i=0;i<=7;i++) {
 		int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
 		if (nx<1 || nx>n || ny<1 || ny>m || col[nx][ny]==2) continue;
 		link(id[x][y],id[nx][ny],oo);
 	}	
}
bool bfs(int s,int t)
{
	int h,r,ne,na;
	for (int i=1;i<=t;i++) d[i]=oo;
	h=r=0;
	st[r=1]=s,d[s]=0;
	for (;h<r;) {
		ne=st[++h];
		for (int i=ne;next[i];) {
			i=next[i],na=sora[i];
			if (flow[ne][na] && d[ne]+1<d[na]) {
				d[na]=d[ne]+1;
				st[++r]=na;
			}
		}
	}
	return d[t]<oo;
}
int dfs(int x,int low)
{
	if (x==t) return low;
	int sum=0,ne,tmp;
	for (int i=x;next[i];) {
		i=next[i],ne=sora[i];
		if (flow[x][ne] && d[x]+1==d[ne]) {
			if (flow[x][ne]<low) tmp=dfs(ne,flow[x][ne]);
			else tmp=dfs(ne,low);
			if (!tmp) d[ne]=oo;
			flow[x][ne]-=tmp,flow[ne][x]+=tmp,sum+=tmp,low-=tmp;
			if (!low) break;
		}
	}
	return sum;
}
void bfs2(int s)
{
	int h,r,ne,na;
	for (int i=1;i<=t;i++) d[i]=oo;
	h=r=0;
	st[r=1]=s,d[s]=0;
	for (;h<r;) {
		ne=st[++h];
		for (int i=ne;next[i];) {
			i=next[i],na=sora[i];
			if (flow[na][ne] && d[ne]+1<d[na]) {
				d[na]=d[ne]+1;
				st[++r]=na;
			}
		}
	}
}
int T;
int main()
{
	freopen("input.txt","r",stdin);
	freopen("output.txt","w",stdout);
	scanf("%d",&T);
	for (int test=1;T;T--,test++) {
		printf("Case %d: ",test);
		scanf("%d%d",&n,&m);
		origin();
		for (int i=1,s1=1;i<=n;i++)
			for (int j=1;j<=m;j++,s1++)
				scanf("%d",&w[i][j]),col[i][j]=0,id[i][j]=s1;
		int p,q;
		scanf("%d",&p);
		for (int i=1;i<=p;i++) {
			int x,y;
			scanf("%d%d",&x,&y);
			x++,y++;
			col[x][y]=1;
		}
		scanf("%d",&q);
		for (int i=1;i<=q;i++) {
			int x,y;
			scanf("%d%d",&x,&y);
			x++,y++;
			col[x][y]=2;
		}
		int M,M1,M2;
		tot=0,M=-oo,M1=0,M2=0;
		bool flag=0;
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=1;j<=m;j++)
				if (col[i][j]!=2) {
					if (col[i][j]==1 || w[i][j]>0) tot+=w[i][j],flag=1;
					if (w[i][j]>M) M=w[i][j],M1=i,M2=j;
				}
		if (!flag && M<0) {
			printf("%d\n",M);
			printf("%d %d\n",M1-1,M2-1);
			continue;
		}
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=1;j<=m;j++)
				if (col[i][j]!=2) {
					if (i&1) {
						if (col[i][j]==1) link(s,id[i][j],oo),doit(i,j);
						else if (w[i][j]>=0) link(s,id[i][j],w[i][j]),doit(i,j);;
					}
					else {
						if (col[i][j]==1) link(id[i][j],t,oo);
						else if (w[i][j]>=0) link(id[i][j],t,w[i][j]);
					}
				}
		int sum=0;
		for (;bfs(s,t);sum+=dfs(s,oo)) ;
		printf("%d\n",tot-sum);
		for (int i=1;i<=s-1;i++) g[0][i]=d[i];
		bfs2(t);
		for (int i=1;i<=s-1;i++) g[1][i]=d[i];
		int k=0,fl=0,lf=0;
		//cout<<flow[id[5][2]][id[2][1]]<<' '<<flow[s][id[5][2]]<<endl;
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=1;j<=m;j++)
				if (col[i][j]!=2 && (k!=tot-sum || fl!=p || !lf)) {
					if (col[i][j]==1) {
						printf("%d %d\n",i-1,j-1);
						k+=w[i][j],fl++,lf++;
						continue;
					}
					if (w[i][j]<0) continue;
					//cout<<i<<'-'<<j<<endl;
					if (i&1) {
						if (g[1][id[i][j]]<oo) continue;
						else {
							printf("%d %d\n",i-1,j-1);
							k+=w[i][j],lf++;
							flow[s][id[i][j]]=oo;
							bfs(s,t);
							for (int i=1;i<=s-1;i++) g[0][i]=d[i];
						} 
					}
					else {
						if (g[0][id[i][j]]<oo) continue;
						else {
							printf("%d %d\n",i-1,j-1);
							k+=w[i][j],lf++;
							flow[id[i][j]][t]=oo;
							bfs2(t);
							for (int i=1;i<=s-1;i++) g[1][i]=d[i];
						}
					}
				}
	}
	return 0;
}