swust Max Area

最新推荐文章于 2025-03-01 19:48:06 发布

DennyZhu0912

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分类专栏： ACM题解文章标签： ACM acm 计算几何

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hunnu_denny/article/details/8224929

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本文介绍了一个几何问题的解决方法：如何通过给定的未配对坐标找到最优的点集，以形成与x轴围成的最大面积。通过代数转换，采用排序与匹配策略实现算法，最终得出解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Max Area

Time Limit: 1000 ms

Memory Limit: 65535 kB

Description

在笛卡尔坐标系正半轴（x>=0,y>=0）上有n个点，给出了这些点的横坐标和纵坐标，但麻烦的是这些点的坐标没有配对好，你的任务就是将这n个点的横坐标和纵坐标配对好，使得这n个点与x轴围成的面积最大。

Input

在数据的第一行有一个正整数m,表示有m组测试实例。接下来有m行，每行表示一组测试实例。每行的第一个数n，表示给出了n个点，接着给出了n个x坐标和y坐标。（给出的x轴的数据不会重复，y轴数据也不会重复）（m<5000, x 和y< 10,000,000, 1 < n <= 1000)
Output

输出所计算的最大面积，结果保留两位小数，每组数据占一行。

Sample Input

4 0 1 3 5 1 2 3 4

6 14 0 5 4 6 8 1 5 6 2 4 3

Sample Output

15.00

59.00

此题是一道几何题，同时也是代数方法求解几何题的典型题，这也为我们解题提供了一种思路可以将题目描述转换为代数描述，然后从代数的角度去求解问题。

假设，我们所求图形的坐标依次为(X1, Y1), (X2, Y2)。。。。。。(Xn,Yn)。

由图形我们很容易知道，该图形的面积为n个梯形的面积之和。

假设图形的面积为area

2*area = （X2 - X1）*（Y1+Y2） + （X3-X2）*（Y2+Y3）+。。。。。。+（Xn-X(n-1)）*（Yn-Y(n-1)）

化简一下即2*area = （X2-X1）*Y1 + （X3-X1）*Y2+。。。。。。。。。+（X（i+1）-X（i-1））*Yi+。。。。。（Xn-X（n-1））*Yn

我们的目标是使area到达最大值。

而，当X坐标给定时，所有的Y未知数的系数也就给定了，所以我们要做的就是使最大的系数乘以最大的Y坐标值，然后加起来，这样得到的area可以达到最大值。

所以就是将系数排序，然后将Y坐标排序，然后对应相乘，累加就可以得到area值。算法复杂度为nlogn

代码如下

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
const int max_n = 1010;
 
int main()
{
 	int m, n;
 	double x[max_n], y[max_n], high[max_n], ans;
 	scanf("%d", &m);
 	while ( m-- )
 	{
 		scanf("%d", &n);
 		for ( int i = 0; i < n; ++i )
 		{
 			scanf("%lf", &x[i]);
 		}
 		for ( int i = 0; i < n; ++i )
 		{
 			scanf("%lf", &y[i]);
 		}
 		sort(x, x + n);
 		sort(y, y + n);
 		high[0] = x[1] - x[0];
 		high[n-1] = x[n-1] - x[n - 2];
 		for ( int i = 1; i < n - 1; ++i )
 		{
 			high[i] = x[i + 1] - x[i - 1];
 		}
 		sort(high, high + n);
 		ans = 0.0;
 		for ( int i = 0; i < n; ++i )
 		{
 			ans += high[i] * y[i];
 		}
 		printf("%.2lf\n", ans/2.0);
 	}
 	return 0;
}