跳台阶，变态跳台阶，斐波那契及矩形覆盖同类型剑指offer64题

最新推荐文章于 2021-07-18 13:13:07 发布

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本文探讨了斐波那契数列在多种算法问题中的应用，包括青蛙跳台阶、变态跳台阶、矩形覆盖等问题，揭示了这些看似不同的问题背后的统一规律。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在做剑指offer64题的时候，发现了四道题都是和斐波那契数列相关的题目，就在这里进行了总结：对于找规律的题目，都可以用递归来做。

第一题：斐波那契数列
斐波那契数列
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55…
第一项和第2项都是1，从第三项开始，每一项等于第n-1项和n-2项的和，可以使用递归来实现。
规律： f(n)=f(n-1)+f(n-2);

class Solution {
public:
    int Fibonacci(int n) {
        if(n==0)
            return 0;
        if(n==1 | n==2)
        {
            return 1;
        }
        // return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2); // 递归
        // 非递归
        int temp1 =1,temp2 =1,temp;
        for(int i=0;i<n-2;i++)
        {
            temp = temp1 + temp2;  // 第三项等于前两项之和
            temp1 = temp2;
            temp2 = temp;
        }
        return temp;
    }
};

第二题：跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

通过枚举发现规律
n=1时，只有一种跳法，即1阶跳，故f(1)=1;
n=2时，有两种跳法，即1阶跳2阶跳，故f(2)=2;
n=3时，先1阶跳，剩n-1=2个台阶，有f(n-1)=f(2)种跳法，先2阶跳，剩n-2=1个台阶，有f(n-2)=f(1)种跳法，只有这两种假设，所以共有f(n-1)+f(n-2)=f(2)+f(1)=2+1=3种跳法，故f(3)=f(2)+f(1)=3;
n=4时，先1阶跳，剩n-1=3个台阶，有f(n-1)=f(3)种跳法，先2阶跳，剩n-2=2个台阶，有f(n-2)=f(2)种跳法，只有这两种假设，所以共有f(n-1)+f(n-2)=f(3)+f(2)=3+2=5种跳法，故f(4)=f(3)+f(2)=5;
…
所以,当n>=3时，f(n)=f(n-1)+f(n-2) 种跳法，可以采用递归。

class Solution {
public:
    int jumpFloor(int number) {
        if(number<0)
            return 0;
        if(number==1)
            return 1;
        if(number==2)
            return 2;
        //return jumpFloor(number-1)+jumpFloor(number-2);// 递归
        // 非递归
        int temp1 =1,temp2=2,temp;
        for(int i=0;i<number-2;i++)
        {
            temp = temp1+temp2;
            temp1 = temp2;
            temp2 = temp;
        }
        return temp;
    }
};

第三题：变态跳台阶
统计分析的思想
题目描述：一个台阶总共有n级，如果一次可以跳1级，也可以跳2级……也可以跳n级。求总共有多少总跳法，并分析算法的时间复杂度。
通过枚举发现规律
n=1时，只有一种跳法，即1阶跳，故f(1)=1;
n=2时，有两种跳法，即1阶跳2阶跳，故f(2)=2;
n=3时，先1阶跳，剩n-1=2个台阶，有f(n-1)=f(2)种跳法，先2阶跳，剩n-2=1个台阶，有f(n-2)=f(1)种跳法，先3阶跳，有1种，所以共有f(n-1)+f(n-2)+1= f(2)+f(1)+1=2+1+1=4种跳法，故f(3)=f(2)+f(1)+1=4;
n=4时，先1阶跳，剩n-1=3个台阶，有f(n-1)=f(3)种跳法，先2阶跳，剩n-2=2个台阶，有f(n-2)=f(2)种跳法，先3阶跳，剩n-3 =1个台阶，有f(n-3)=f(1)种跳法，先4阶跳，有1种，所以共有f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+1=f(3)+f(2)+f(1)+1=4+2+1+1=8种跳法，故f(4)=f(3)+f(2)+f(1)+1=8;
…
重新组织一下：
f(1)=1;
f(2)=2;
f(3)=f(2)+f(1)+1;
f(4)=f(3)+f(2)+f(1)+1;
…
f(n-1)= f(n-2)+f(n-3)+…+f(1)+1;
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)…+f(1)+1;
所以f(n)-f(n-1)=f(n-1)------------>f(n)=2*f(n-1);
所以,当n>=3时，f(n)=2f(n-1) 种跳法，可以采用递归。

class Solution {
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        if(number<1)
            return 0;
        if(number == 1)
            return 1;
        if(number==2)
            return 2;
        return 2*jumpFloorII(number-1);// 递归
    }
};

第四题：矩形覆盖
题目描述：
我们可以用2 * 1*的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用 n *个**2 * 1的小矩形无重叠地覆盖一个2 * n的大矩形，总共有多少种方法？

分析：
矩形可以竖着也可以横着放，要想铺满，就是1竖或者两横，和青蛙跳中跳台阶可以1跳，也可以两跳一样。规律是 f(n)=f(n-1)+f(n-2);

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        if(number<0)
            return 0;
        if(number==1)
            return 1;
        if(number==2)
            return 2;
        return rectCover(number-1)+rectCover(number-2);
    }
};