《算法概论》习题8.8

题目

在精确的4SAT(EXACT 4SAT)问题中，输入为一组自居，每个子句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在每个自居中出现依次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP-完全问题。

题目分析

证明是NP-完全问题，可以用一个已知的NP-完全问题A，用它归约到4SAT问题，即可得证。

首先4SAT是SAT的一种特例，它是属于NP的。已知3SAT是NP-完全问题，给定一个3SAT的实例I，对于I中的子句

$$(a_1 \lor a_2 \lor a_3)(a_4 \lor a_5 \lor a_6)...(a_{k-2} \lor a_{k-1} \lor a_k)$$
先将每个子句中的变量缩减到最简形式，然后给每个子句中添加一组另外的变量即不影响原来的求解，这样就可以将每个子句所包含的文字数目扩充到四个，这样就能成功就3SAT归约到精确的4SAT问题。