积分图像(Integral Image)与积分直方图 (Integral Histogram)

   在图像处理中有两个常用的相关算法，这就是积分图像 (Integral Image)和积分直方图(Integral Histogram)，本文来讲解这两个算法的基本原理。

   在本文中主要以灰度图像来讲解。一个图像内 矩形区域的积分是指这个矩形区域内所有灰度值的和，如图所示：

所选定区域的积分为：

如图以3x6图像为例，左侧是原始图像，右侧是其积分图像，其中(2,4)位置的积分为16：

如果每个像素点都公式计算其积分，其运算量就太大了，为了减少计算量，专家经过推导给出了如下计算方法：如图所示：

区域1 : = sum(A);

区域2 : = sum(A + B);

区域3 : = sum(A + C);

区域4 : = sum(A + B + C + D);

所以，如果需要计算D区域中的灰度和，则

sum(D) = 区域4 - 区域2 - 区域3 + 区域1 （都是灰度值）。

很明显，这里仅仅只需要通过查表得到 1、2、3、4点的积分图像的值即可得到。由此计算任意点积分方法可以化为：

其中integral(i,j)表示(i,j)点积分值，而image(i,j)表示的是该点图像灰度值，由此可以知道计算一个图像积分的运算量与这个图像的大小差不多。

   下面再说，积分直方图(Integral Histogram)。 一个图像内 矩形区域的积分 积分直方图 是指这个矩形区域内所有灰度值的频数。普通的灰度 直方图是指一个图像各灰度级出现的频数，如图所示：

而积分直方图如图所示：

本图是一个灰度级为[0,9]的图像，H(4,5)表示的是(0,0)到(4,5)所有像素所有灰度级出现的频数，即后面的数字[2 1 4 3 2 2 2 1 2 1]表示灰度级[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]在区域里出現的频数。如同积分图的计算方法， 积分直方图也可以用类似的方法进行。

公式如下：

也就是可以如下进行：