斜率优化的三种形式

由于本人弱

这些知识刚刚学的。只是拾人牙慧罢了。

大纲

对于我这个蒟蒻来说，决策单调性挺难啃。
就讲2个点。
①四边形不等式证明决策单调性。（形式一）（网络上有很多参考资料可供阅）
②没被踢除的决策具有单调性。（形式二、三）
形式一和形式二三还是有很大的区别的。

三种形式

形式一

$$f[i]=min\{f[j]+w(j,i)\}$$
从《1D1D动态规划优化初步》里可知
$w(i,j)$满足四边形不等式$\Leftrightarrow$$f[i]$满足决策单调性，即$\forall i≤j,s[i]≤s[j]$
如何理解？
现在我们正在做这件事。

for i=0 to n
    for j=i+1 to n
        if(f[i]>f[j]+w(j,i))f[i]=f[j]+w(j,i),s[j]=i;

如果证明了$w(i,j)$满足四边形不等式，那么对于每个i，循环完j之后，s[i]是这样的：
111111222222333333
而不会出现如下的情况：
111111333333222222
也就是$\forall i≤j,s[i]≤s[j]$

四边形不等式证明了决策单调性。

这启发了我们要维护这些段。具体地，每段维护两个值：决策、位置。
维护一个栈。每次加入新决策j，比较栈顶的位置是用原先的决策，还是用新决策更优。如果是新决策更优，显然要踢掉整一段。否则进入二分环节。

形式二

$$f[i]=min_{j=b[i]}^{i-1}\{g[j]\}+w[i]$$
这里使用我们很熟悉的单调队列优化。
若$\exists j\leq k,g(k)\leq g(j)$，则决策j将会被踢掉。
所以，如果将该踢掉的决策踢掉，剩余的决策按照k排序，则$g(k)$必然单调。

没被踢除的决策具有单调性。

启发：使用单调队列维护。
时间复杂度：$O(n)$

形式三

$$f[i]=min_{j=1}^{i-1}\{a[i]*f[j]+b[i]*g[j]\}$$
条件：$a[i],b[i]$可快速求出。
跟大家说的斜率优化有何联系？
将式子看成$d=ax+by$，整理，得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{d}{b}$
则求纵截距的极值。
将点$(f[i],g[i])$标在平面直角坐标系中，则直线碰到的第一个点就是最优决策。
如果决策直线的斜率与二元组的横坐标同时满足单调性，那很好。
可以得到决策点必然在凸壳上。并且单调地移动。

优化原理：踢掉一些不优的决策 $\exists j<k,g(j)$没有$g(k)$优，那么将j踢掉。
决策直线的斜率与二元组的横坐标同时满足单调性$\Leftrightarrow$决策单调性。


没被踢除的决策具有单调性。

时间复杂度：$O(n)$

当然，有些题目比较毒瘤，如果决策直线的斜率与二元组的横坐标不一定同时满足单调性。
需要用到splay来维护凸包。
具体的，我太弱了，不会。