PageRank算法

1 概述

PageRank是Google创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林于1997年构建早期的搜索系统原型时提出的链接分析算法，并以Google创办人拉里.佩奇（Larry Page）命名。

PageRank计算页面的重要性，对每个链入(inbound)赋以不同的权值，链接提供的页面越重要则此链接权值越高。当前页的重要性，是由其它页面的重要性决定的。PR值是衡量网站重要性的标准。 一个PR值为1的网站表明这个网站不太具有流行度，而PR值为7到10则表明这个网站非常受欢迎（或者说极其重要）。一般PR值达到4，就算是一个不错的网站了。Google把自己的网站的PR值定到10，这说明Google这个网站是非常受欢迎的，也可以说这个网站非常重要。

2 核心思想

PageRank通过网络超链接关系来确定一个页面的等级。Google把从A页面到B页面的链接解释为A页面给B页面投票，Google根据投票来源（甚至来源的来源，即链接到A页面的页面）和投票目标的等级来决定新的等级。

一个页面的“得票数”由所有链向它的页面的重要性来决定。一个页面的PageRank是由所有链向它的页面（“链入页面”）的重要性经过递归算法得到的。一个有较多链入的页面会有较高的等级，相反如果一个页面没有任何链入页面，那么它没有等级。

3 PageRank算法原理

简易版本：
假设一个由4个网页组成的群体：A，B，C和D。如果所有页面都只链接至A，那么A的PR（PageRank）值将是B，C及D的Pagerank总和。

$${\rm{PR}}(A) = PR(B) + PR(C) + PR(D)$$
继续假设B也有链接到C，并且D也有链接到包括A的3个页面。一个页面总共只有一票。所以B给每个页面半票。以同样的逻辑，D投出的票只有三分之一算到了A的PageRank上。
$${\rm{PR}}(A) = {{PR(B)} \over 2} + {{PR(C)} \over 1} + {{PR(D)} \over 3}$$
即 $${\rm{PR}}(A) = {{PR(B)} \over {L(B)}} + {{PR(C)} \over {L(C)}} + {{PR(D)} \over {L(D)}}$$
其中， $L(B)$， $L(C)$， $L(D)$ 为网页B,C,D的链出数量。

完整版本：
由于存在一些出链为0，也就是那些不链接任何其他网页的网， 也称为孤立网页（黑洞吞噬）。因此需要对 PageRank公式进行修正，即在简单公式的基础上增加了阻尼系数（damping factor）d， d一般取值q=0.85。

其意义是，在任意时刻，用户到达某页面后并继续向后浏览的概率。 1- d= 0.15 （就是用户停止点击随机跳到新URL的概率）的算法被用到了所有页面上，估算页面可能被上网者放入书签的概率。

由于没有页面的PageRank会是0。所以，Google通过数学系统给了每个页面一个最小值$(1 - d)/N$。
所以这个公式如下：

$$PageRank({p_i}) = {{1 - d} \over N} + d\sum\limits_{{p_j} \in M({p_i})} {{{PageRank({p_j})} \over {L({p_j})}}}$$
其中， ${p_1}{p_2},...,{p_N}$是被研究的页面， $M({p_i})$是链入 ${p_i}$页面的集合， $L({p_j})$是 ${p_j}$链出页面的数量，N是所有页面的数量。

步骤如下：
1. 在初始阶段：网页通过链接关系构建起Web图，每个页面设置相同的PageRank值，通过若干轮的计算，会得到每个页面所获得的最终PageRank值。随着每一轮的计算进行，网页当前的PageRank值会不断得到更新。
2. 在一轮中更新页面PageRank得分的计算方法：在一轮更新页面PageRank得分的计算中，每个页面将其当前的PageRank值平均分配到本页面包含的出链上，这样每个链接即获得了相应的权值。而每个页面将所有指向本页面的入链所传入的权值求和，即可得到新的PageRank得分。当每个页面都获得了更新后的PageRank值，就完成了一轮PageRank计算，直至收敛。

计算过程：Markov链的转移概率矩阵 看例子

例子：

(“MapR”,List(“Baidu”,”Blogger”)),
(“Baidu”, List(“MapR”),
(“Blogger”,List(“Google”,”Baidu”)),
(“Google”, List(“MapR”))

第一步 先将每个网页的PR值赋值为1（不论初始值如何选取，都保证了网页排名的估计值能收敛 到他们的真实情况）。并令其为

根据

第二步 得到状态转移矩阵P

则

$${\rm{P}}{{\rm{R}}^{\rm{1}}}{\rm{ = 0}}{\rm{.85*P*P}}{{\rm{R}}^0}{\rm{ + 0}}{\rm{.15}}$$
依次类推，迭代第十次时
$${\rm{P}}{{\rm{R}}^{{\rm{10}}}}{\rm{ = 0}}{\rm{.85*P*P}}{{\rm{R}}^9}{\rm{ + 0}}{\rm{.15}}$$
最后结果为

4 优缺点

优点：
- 是一个与查询无关的静态算法，所有网页的PageRank值通过离线计算获得；有效减少在线查询时的计算量，极大降低了查询响应时间。

缺点：

• 人们的查询具有主题特征，PageRank忽略了主题相关性，导致结果的相关性和主题性降低
• 旧的页面等级会比新页面高。因为即使是非常好的新页面也不会有很多上游链接，除非它是某个站点的子站点。

5 改进

针对第一个缺点，史坦福大学提出了主题敏感性PageRank算法
针对第二个缺点，提出了TrustRank算法。原理：先人工去识别高质量的页面(即“种子”页面)，那么由“种子”页面指向的页面也可能是高质量页面，即其TR值也高，与“种子”页面的链接越远，页面的TR值越低。“种子”页面可选出链数较多的网页，也可选PR值较高的网站。

6 总结

Pagerank算法复杂度并不大，难度在于对海量数据的处理。