POJ 2368|URAL 1023|Buttons|博弈论_ural

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本文介绍了一种纽扣游戏，目标是找到最小的取石子数L，确保后手玩家获胜。给定石子总数K，通过寻找K的最大于2的最小因数并减一得到L。

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http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1023

题目大意

给定 $K(3\leq K\leq 10^8)$ 个石子，一次最多取 $L(2\leq L<k)$ 个石子，问L最小取多少能使后手必胜。

背景

正如你所知道的，Yekaterinburg市夺得了2032年夏季奥运会的举办权。这允许作为比赛举办国的俄国能够修改一些比赛项目。所以为了提升command result(?)，俄国决定把体操项目换成一个全新的比赛项目”Buttons”。
新游戏的规则很简单，有一堆共K个纽扣，2个参赛者。2个人轮流从这堆纽扣中取走一些纽扣（最少1个，最多L个），最后取完纽扣的人获胜。作为奥林匹克比赛项目，这个游戏的规则难度加大了，比赛先手（即第一个取纽扣的人）有机会决定 $K(3\leq K\leq 10^8)$ （不要问我哪来这么多纽扣）。比赛后手（即第二个取纽扣的人）可以决定 $L(2\leq L<K)$ 。

问题

你的团队接受了一个很艰巨的任务：写一个程序帮助后手对于已经给定的K，找出最小的L使得可以保证后手必胜。
比如如果一开始只有 $K=3$ 个纽扣，那么令 $L=2$ 时，无论先手取1个还是取2个，后手都能获得胜利（取2个或者取1个）。

输入

输入一行一个整数K。

输出

输出一行一个整数L。

样例输入（K）

样例输出（L）

题解

考虑 $K=L+1$ 的情况，这种情况下先手无论拿多少个石子（ $1..L$ ），都能剩下不超过 $L$ 个石子让后手直接全部拿完。
如果我们构造一轮又一轮的这样的步骤，即 $k$ 是 $L+1$ 的倍数，那么每当先手取了 $s$ 个石子，后手都能取 $L+1-s$ 个石子，使得剩下的石子又变成 $L+1$ 的倍数的情况，直到最后只剩 $L+1$ 个石子，后手胜。
那么问题就变成了找到 $K$ 的最小的大于2的因数，减一就是 $L$ 了。

#include <cstdio>
int factor[N];
int main() {
    int n, factor, i;
    scanf("%d", &n);
    // L must be larger than 2, so factor must be larger than 3.
    if (n % 2 == 0 && n / 2 > 2)
        factor = n / 2;
    else
        factor = n;
    for (i = 2; i * i <= n; ++i) 
        if (n % i == 0) {
            factor = i;
            break;
        }
    --factor;
    printf("%d\n", factor < 2 ? 0 : factor);
    return 0;
}