BZOJ 3996 TJOI 2015 线性代数最小割

最新推荐文章于 2019-09-15 11:08:27 发布

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本文介绍了一个经典的最小割模型问题，并通过详细的数学公式推导过程解释了如何将原问题转化为最小割问题。此外，还提供了完整的C++代码实现，用于解决一个具体的线性代数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一开始没看出来是最小割。。
听说是经典的最小割模型，是我太弱了。

max ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ \sum (i, j) a i a j b i, j - \sum a i c i ⎫ ⎭ ⎬ ⎪ ⎪

$\max \left\{ \sum_{(i,j)} a_ia_jb_{i,j}-\sum a_ic_i \right\}$

max {\sum max {0, x i, j} \cdot b i, j - \sum max {0, x i, j - a i} \cdot \infty - \sum max {0, x i, j - a j} \cdot \infty - \sum max {0, a i} \cdot c i}

$\max \left\{ \sum\max\{0,x_{i,j}\}\cdot b_{i,j} - \sum\max\{0,x_{i,j}-a_i\}\cdot \infty - \sum\max\{0,x_{i,j}-a_j\}\cdot \infty - \sum \max\{0,a_i\}\cdot c_i \right\}$
中间2个×无限大的目的是使

xi,j $x_{i,j}$ 与

ai $a_i$ 和

aj $a_j$ 的取值一样，因为

xi,j $x_{i,j}$ 是新建的点，目的是方便与

bi,j $b_{i,j}$ 扯上关系使式子变成我们需要的格式。

\sum b i, j + min {\sum max {0, 1 - x i, j} \cdot b i, j + \sum max {0, x i, j - a i} \cdot \infty + \sum max {0, x i, j - a j} \cdot \infty + \sum max {0, a i} \cdot c i}

$\sum b_{i,j} +\min \left\{ \sum\max\{0,1-x_{i,j}\}\cdot b_{i,j} + \sum\max\{0,x_{i,j}-a_i\}\cdot \infty + \sum\max\{0,x_{i,j}-a_j\}\cdot \infty + \sum \max\{0,a_i\}\cdot c_i \right\}$
应该推导没错吧。。反正AC了就行233
反正如果max转min，需要改变整个子式的符号就直接变，如果不能改变依据实际意义，把max里的改成1减去原来的就好了。
就推导本身而言如果没注意到最小割可能真的不会往这边推导。。况且似乎线性规划构图使题目变复杂了？还是我想多了？

为什么同样的写法别人300ms我700ms。。
实在看不出常数差在哪了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 300005, M = N * 10, inf = 0x3f3f3f3f;
namespace Graph {
    int head[N], next[M], to[M], vis[N], cur[N], level[N], que[N * 20], w[M];

    int edge_cnt = 0, s, t;
    void add(int a, int b, int c) {
        next[edge_cnt] = head[a]; to[edge_cnt] = b; w[edge_cnt] = c; head[a] = edge_cnt++;
        next[edge_cnt] = head[b]; to[edge_cnt] = a; w[edge_cnt] = 0; head[b] = edge_cnt++;
    }
    bool bfs() {
        memset(level, -1, sizeof level);
        int f = 0, r = 0;
        que[r++] = s; level[s] = 0;
        while (f < r) {
            int u = que[f++];
            for (int i = head[u]; i != -1; i = next[i])
                if (w[i] > 0 && level[to[i]] == -1) {
                    level[to[i]] = level[u] + 1;
                    if (to[i] == t) return 1;
                    que[r++] = to[i];
                }
        }
        return level[t] != -1;
    }
    int dfs(int u, int low) {
        if (u == t) return low;
        int res = 0;
        for (int i = cur[u]; i != -1 && res < low; i = next[i])
            if (w[i] > 0 && level[to[i]] == level[u] + 1) {
                int tmp = dfs(to[i], min(low - res, w[i]));
                res += tmp; w[i] -= tmp; w[i ^ 1] += tmp;
                if (w[i]) cur[u] = i;
            }
        if (!res) level[u] = -1;
        return res;
    }
    int solve() {
        int ans = 0;
        while (bfs()) {
            memcpy(cur, head, sizeof cur);
            ans += dfs(s, inf);
        }
        return ans;
    }
}

int main() {
    using namespace Graph;
    int n, i, j, k, x, sum = 0, id;
    memset(head, -1, sizeof head);
    scanf("%d", &n);
    s = 0; t = n * n + n + 1; id = n;

    for (i = 1; i <= n; i++)
        for (j = 1; j <= n; j++) {
            scanf("%d", &x); sum += x; ++id;
            add(i, id, inf); add(j, id, inf);
            add(id, t, x);
        }
    for (i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &x), add(s, i, x);

    printf("%d", sum - solve());

    return 0;
}