Leetcode 62. Unique Paths

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本文深入探讨了机器人在网格中寻找从左上角到右下角的唯一路径数量问题。通过动态规划方法，详细阐述了解题思路及算法实现，提供了一个高效的时间复杂度为O(mn)的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

62. Unique Paths

题目

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish’ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 7 x 3 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

Example 1:

Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right

Example 2:

Input: m = 7, n = 3
Output: 28

解题思路

采用动态规划的方法：

用result[i][j]表示从（0，0）到（i，j）的路径数。
由于只能向右和向下走，因此到第一行的某列和第一列的某行都只有一种走法，因此初始化为：
```
result[i][0] = 1;
result[0][j] = 1;
```
其他情况时，可以从点(i-1, j)和点(i, j-1)到达点(i, j)，因此状态转移函数为：
```
result[i][j] = result[i-1][j] + result[i][j-1];
```
最终得到的result[m-1][n-1]即为所求。
时间复杂度为O(mn)。

代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> result(m, vector<int>(n, 1));
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                result[i][j] = result[i-1][j] + result[i][j-1];   
            }
        }
        return result[m-1][n-1];
    }
};