素数因子两种方法的效率

给出一个整数n，先找到最小质数k，然后按照下面步骤完成：

(1)如果这个质数恰等于（小于的时候，继续执行循环）n，则说明分解质因数的过程已经结束，另外 打印出即可。

(2)但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商,作为新的正整数n.重复执行第二步。

(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值,重复执行第一步。

#include <stdio.h>
int main() {
    int num, i;
    printf("please input a num:");
    scanf("%d", &num);
    printf("%d=", num);
    for(i = 2; i <= num; i++) {
		while(num % i == 0) {
			num /= i;
			if(num != 1) {
				printf("%d*", i);
			} else {
				printf("%d", i);
			}
		}
	}
	printf("\n");
    return 0;
}

如果输入的数据是偶数的话，循环从2开始，执行while循环后这个数肯定编程奇数。那么大家从小学学数学的时候都知道，质数除去2之外，都是奇数。自然数序列中奇数有两种，一种是质数（奇数），另一种肯定是质奇数的倍数。所当输入的偶数据编程奇数之后肯定能被分解，分解或是一个质奇数，或者是几个质奇数的乘积。如果输入数据时奇数的话，那很显然能被分解成质奇数的乘积。此程序是当num=1的时候结束。
可以很清楚的看到，上面的算法有很多不必要的判断，就是当i = 4，或者 i = 6的时候。所以下面给出一个更高效的算法。
1，首先判断n是否可以被2整除，如果可以，那么n/2之后再进行判断，直至n变成奇数。
2，接下来开始一个从i=3，到 i = sqrt(n)的循环，当i可以整除n的时候，进行整除运算，直至不能整除位置，然后i一次递增2。
3，当第2部结束之后得到的n，要对其进行判断，看它是1还是比2大的质数。

#include<stdio.h>
#include<math.h>

void prime_factors(int n) {
	int i;
	while(n % 2 ==0) {
		n = n / 2;
		printf("%d ", 2);
	}

	for(i = 3; i <= sqrt(n); i += 2) {
		while(n % i == 0) {
			n = n / i;
			printf("%d ", i);
		}
	}

	if(n > 2) {
		printf("%d" , n);
	}
	printf("\n");
}

void main() {
	int n = 315;
	prime_factors(315);
}

第1,2步处理的是当n是组合数的情况（就是非质数），第3步是处理n是质数的情况。为了证明整个算法的正确性，需要证明1,2的确是处理了组合数的情况。可以清晰的看到1处理了所有偶数的情况，第一步之后得到的n肯定是个奇数，而且n的两个不同的质数因子之间的差值至少为2。因为n的值是随着程序不断变动的，所以假设n的最初值记录在k中。上面的算法第二步中的for循环没有执行到k的平方根的时候就结束了。这是一种很巧妙的优化。下面证明这个优化的正确性：对于每个组合数而言，最少有一个素数因子是小于或者等于它的平方根的，用反证法证明这一点。假设a，b是n的两个因子，a * b = n， 假如a，b都大于n的平方根，那么a*b的值就会大于n，与他们之积等于n相反。在第2步的循环中，主要做以下的工作：a，找到n的最小素数因子；b，在while循环中，通过不断的n/i，来去除n中包含的所有i因子；c，通过重复的执行a,b两步，使得最终的n要么是1，要么是比2大的素数。