69、脉冲双物种合作系统的周期解与正六边形覆盖蜂窝模型研究

脉冲双物种合作系统的周期解与正六边形覆盖蜂窝模型研究

脉冲双物种合作系统周期解分析

在研究脉冲双物种合作系统时，我们先对系统做一些假设：
- (H1)：(c_i(t))，(a_i(t))，(b_i(t))，(r_i(t))（(i = 1, 2)）和(h(t))都是周期为(\omega > 0)的正周期连续函数。
- (H2)：(1 + q_1^k > 0)，(1 + q_2^k > 0)，且存在正整数(p)使得(t_{k + p} = t_k + \omega)，(q_1^{k + p} = q_1^k)，(q_2^{k + p} = q_2^k)。

为证明系统存在正周期解，我们引入Mawhin连续性定理。设(X)和(Y)是两个巴拿赫空间，考虑算子方程(Lx = \lambda Nx)，其中(L : DomL ∩ X → Y)是指标为零的Fredholm算子，(\lambda ∈ [0, 1])是参数。存在两个投影算子(P : X → X)和(Q : Y → Y)，满足(ImP = KerL)和(ImL = KerQ)。假设(N : \overline{\Omega} → Y)在(\Omega)（(\Omega)是(X)中的有界开集）上是(L) - 紧的，并且满足以下条件：
1. 对于每个(\lambda ∈ (0, 1))，(x ∈ ∂\Omega ∩ DomL)，有(Lx \neq \lambda Nx)。
2. 对于每个(x ∈ ∂\Omega ∩ KerL)，有(QNx \neq 0)。
3. 对于每个(deg {JQN, \Omega ∩ KerL, 0} \neq 0)，其中(J : ImQ → KerL)是同构，(de