58、AVL树批量更新的摊还复杂度分析

AVL树批量更新的摊还复杂度分析

1. 批量删除的理论基础

在AVL树中进行批量操作时，删除操作有着重要的理论依据。假设对一个拥有n个键的AVL树执行n次删除操作，那么总共会执行cn次重新平衡操作（其中c为常数）。这意味着每次删除操作的摊还重新平衡复杂度是常数。

初始时，树的势小于n。最后旋转操作的次数上限为n，而其他所有重新平衡操作的次数上限是初始势加上势的总可能增加量，根据相关引理，势的总可能增加量为2n。所以，重新平衡操作的总次数是有常数界的。

2. AVL树的批量插入

设T′是一个具有n个键的AVL树，将m个不同的、排序好的且位于同一叶子位置的键插入到T′中。首先构建一个名为更新树的AVL树S，它由这些键以及公共位置叶子中的键组成。简单的批量插入操作包括实际的批量插入（用S替换该位置的叶子）和对结果树T进行重新平衡（即将T转换为AVL树）。

批量插入的思路是尽可能避免改变S的结构，通过旋转操作将S逐渐向根节点移动。只要在S根节点的父节点p之上可以进行旋转，就不允许在p处进行旋转。这样，将S合并到T中的时间复杂度为O(log m)，即对T进行重新平衡，直到S根节点的祖父节点不再存在平衡冲突。

合并过程由一系列旋转步骤组成，第一步以T0 = T为输入，后续每一步的输入Ti是前一步的输出。用子树B的根节点的层级加上B的高度来定义子树B的层级。设u1, …, us是从S的根节点到Ti的根节点的路径，用B1, …, Bs - 1表示Ti中以u1, …, us - 1的兄弟节点为根的子树。在合并过程的每个中间阶段，除了节点u2, …, us外，Ti是平衡的，并且对于Bi的层级有以下关系：
- 对于j = 3,