50、低代价树分解及相关图问题研究

低代价树分解及相关图问题研究

1. 低代价树分解相关概念与定理

1.1 树分解代价相关定理

• 对于任意函数 (f:N→R^+) ，若 (f) 为快速函数，每个图 (G) 都有一个最小三角剖分 (H) ，使得 (cost_f(H) = tcf(G)) 。这里 (cost_f) 表示树分解的 (f) - 代价， (tcf(G)) 表示图 (G) 的最小 (f) - 代价。
• 若 (G) 是弦图， (f) 是快速函数，那么 (cost_f(G) = tcf(G)) 。

1.2 特殊图类的树代价计算

对于具有多项式数量最小分隔符的图，在快速函数 (f) 的情况下，可以高效计算其树代价。以下是一些特殊图类的相关情况：
| 图类 | 树代价计算情况 |
| ---- | ---- |
| 可比补图、d - 梯形图、置换图、圆图、弱三角化图等 | 当输入限制为这些图类时，可高效计算树代价 |
| 树宽至多为 2 的图 | 若 (f) 是快速函数且 (f(1)) 、 (f(2)) 、 (f(3)) 可计算，存在线性时间算法计算其关于 (f) 的树代价 |
| cographs（补可比图） | 设 (T_f(n)) 是计算 (f(1),…,f(n)) 所需的时间，存在一个算法在 (O(n + m + T_f(n))) 时间内计算给定 (n) 个顶点和 (m) 条边的 cograph 的 (tcf(G)) ，这里 (f) 不要求是快速函数 |

1.3 最小分隔符相关定义

在连通图 (G) 中，对于非相邻顶点 (a) 和 (b) （