29、群体感应在达成共识中的必要性

群体感应在达成共识中的必要性

1. 蚁群整体动态

在任意一次蚁群迁移过程中，我们用 (s(t) = {s_1(t), · · ·, s_N(t)})（其中 (t = 0, 1, · · ·)）来表示整个蚁群状态的随机过程。这里的 (s(t)) 是一个 (N) 维向量，每个分量 (s_i(t)) 代表第 (i) 只蚂蚁的状态。虽然每只蚂蚁的状态 (s_i(t)) 不是马尔可夫过程，但整个蚁群状态 (s(t)) 是一个马尔可夫链。这是因为在第 (t) 轮中，每只领头蚂蚁选择跟随者时，仅依赖于 (s(t - 1))，而与 (t - 1) 轮之前的历史状态无关。

迁移从第 1 轮开始，初始时所有蚂蚁 (s_i = n_0)（(i = 1, · · ·, N)）。每一轮中，不在 (n_0) 巢的蚂蚁按随机顺序进行一次状态转移，然后在 (n_0) 巢的蚂蚁再按随机顺序进行一次状态转移。在第 (t) 轮开始时，每只蚂蚁有自己的状态 (s_i(t - 1))，蚁群有状态 (s(t - 1))。若某只蚂蚁在第 (t) 轮开始时位于 (n_1) 或 (n_2) 巢，它也能获取该巢在这一轮开始时的蚂蚁数量。在第 (t) 轮中，每只蚂蚁根据个体模型进行一次状态转移，这也会导致蚁群状态在这一轮发生转变。第 (t) 轮结束时，每只蚂蚁有新状态 (s_i(t))，蚁群有新状态 (s(t))，然后所有蚂蚁带着新状态进入第 (t + 1) 轮。

2. 共识问题的定义

我们定义当一次迁移达到 (\Delta) - 共识（(\Delta \in [0, \frac{1}{2}])）时，意味着存在一个时间 (\hat{t})，使得对于所有 (t \geq \hat{t}) 和巢 (m \in {