17、量子测量中的贝叶斯更新与信息增益

量子测量中的贝叶斯更新与信息增益

1. 引言

在许多情况下，从测量结果中学习可以被视为更新对某些变量的概率分布。贝叶斯学派认为，这种更新应根据条件化规则进行。在量子力学理论中，有一个规则告诉我们，在观察到测量结果后如何更新系统的状态。量子系统的状态与潜在测量的概率分布密切相关。因此，我们可能期望贝叶斯条件化与量子状态更新规则之间存在某种联系。

有人提出，状态变化正是经过适当理解的贝叶斯条件化，或者与之密切类似。Bub在1977年的一篇论文中首次将量子测量与贝叶斯条件化联系起来，他采用了基于量子逻辑的方法。2002年，Fuchs和Jacobs再次讨论了这种联系，指出了量子状态更新与贝叶斯条件化之间的类比。同时，Fuchs也指出了一个不同点，即在量子测量中存在一个“额外的幺正”变换。接下来，我们将先回顾Bub、Jacobs和Fuchs的提议，然后说明量子测量中额外幺正变换的存在如何导致经典测量和量子测量在信息增益方面的差异。

2. 贝叶斯条件化

假设我们对假设空间H中的某些命题h有一个初始概率分布p(h)。如果我们收集到由命题d给出的新证据，那么初始概率分布可能需要更新。贝叶斯条件化规则指出，初始概率分布p(h)（称为“先验”）应被条件分布p(h|d)（称为“后验”）取代：
[p(h) \to p(h|d)]
后验分布p(h|d)可以使用贝叶斯规则计算：
[p(h|d) = \frac{p(d|h)p(h)}{p(d)}]
其中，p(h)是假设的先验概率分布，p(d|h)是证据d的似然度，p(h|d)是后验概率。分母p(d)由下式给出：
[p(d) = \sum_{h} p(d|h)p(h)]
如果h