【BZOJ2149】拆迁队（斜率优化DP+CDQ分治）

最新推荐文章于 2019-02-12 19:10:33 发布

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本文深入探讨了斜率优化与CDQ算法在解决特定类型问题中的应用，通过BZOJ2149题目详细讲解了如何利用这两种算法求解最长非降子序列及最小总花费问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

一个斜率优化+CDQ好题

BZOJ2149

分析：

先吐槽一下题意：保留房子反而要给赔偿金是什么鬼哦……

第一问是一个经典问题。直接求原序列的最长上升子序列是错误的。比如 ${1,2,2,3\}$ ，选择 ${1,2,3\}$ 不改变后会发现无论如何修改都无法变成一个严格上升序列。只能选择 ${1,2\}$ ，把原序列改成 ${1,2,3,4\}$ 。

考虑对于两个数 $a_i$ 和 $a_j(j<i)$ ， $a_i$ 能接在 $a_j$ 后面的充要条件是 $a_i-a_j\geq i-j$ （这样中间才能塞下 $i - j - 1$ 个数形成上升序列）。移项得到 $a_i-i\geq a_j-j$ ，所以应该把每个数减去它的编号作为权值然后求最长非降子序列。由于要求美观度为正整数，所以若 $a_i-i<0$ ，则 $i$ 不能作为序列的开端。下面的代码展示了 $O(nlog_2n)$ 求法（其中 $c [i] = a [i] - i$ ， $f [i]$ 表示以 $i$ 结尾的最长非降子序列的长度）。

int solve()
{
	int ans = 0;
	memset(tmp, INF, sizeof(int[n + 1]));
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (c[i] < 0)
			f[i] = 0;
		else
		{
			int pos = upper_bound(tmp + 1, tmp + ans + 1, c[i]) - tmp;
			tmp[pos] = c[i];
			ans = max(ans, pos);
			f[i] = pos;
		}
		v[f[i]].push_back(i);
	}
	return ans;
}

然后来看第二问。设 $d p [i]$ 为将前 $i$ 个数变成单调上升序列的最小总花费。则 $d p [i]$ 可以由 $d p [j]$ 转移而来的必要条件是 $i > j$ ， $a [i] - i > a [j] - j$ 且 $f [i] = f [j] + 1$ （若 $f [i] > f [j] + 1$ ，则不满足“保留最多的旧房子”；若 $f [i] < f [j] + 1$ ，说明你 $f [i]$ 算错了）。

转移时，最优解显然是把 $a [k] (j < k < i)$ 变成一个以 $a [j] + 1$ 为首项，公差为 $1$ 的等差数列。由于 $a [i] - i > a [j] - j$ ，所以改完以后一定有 $a [i - 1] < a [i]$

$dp[i]=min\{dp[j]+\frac{[a[j]+1+a[j]+(i-j-1)]\times(i-j-1)}{2}+a[i]+b[i]\}$

整理一下，得到：

$dp[i]=min\{dp[j]+a[j]\times(i-j-1)+\frac{i(i-1)}{2}+\frac{j(j+1)}{2}+-ij+a[i]+b[i]\}$

可以根据 $f [i]$ 分层，一起处理所有 $f [j] = k - 1$ 的 $j$ 对 $f [i] = k$ 的 $i$ 的贡献。下面考虑每一层的情况。

未完待续……

代码：

方便起见，在序列首加一个 $0$ （ $a [0] = f [0] = 0$ ）。这样可以保证改造后美观度为正（因为 $f [i] = 1$ 的 $d p [i]$ 必然从 $d p [0]$ 转移而来）；在序列尾加一个无穷大作为 $a [n + 1]$ ， $d p [n + 1] - a [n + 1]$ 即为答案。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

namespace zyt
{
	template<typename T>
	inline void read(T &x)
	{
		char c;
		bool f = false;
		x = 0;
		do
			c = getchar();
		while (c != '-' && !isdigit(c));
		if (c == '-')
			f = true, c = getchar();
		do
			x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
		while (isdigit(c));
		if (f)
			x = -x;
	}
	template<typename T>
	inline void write(T x)
	{
		static char buf[20];
		char *pos = buf;
		if (x < 0)
			putchar('-'), x = -x;
		do
			*pos++ = x % 10 + '0';
		while (x /= 10);
		while (pos > buf)
			putchar(*--pos);
	}
	typedef long long ll;
	typedef long double ld;
	const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
	const ll LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
	int n, a[N], b[N], c[N], f[N], tmp[N];
	ll dp[N];
	vector<int> v[N];
	int solve()
	{
		int ans = 0;
		memset(tmp, INF, sizeof(int[n + 1]));
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			if (c[i] < 0)
				f[i] = 0;
			else
			{
				int pos = upper_bound(tmp + 1, tmp + ans + 1, c[i]) - tmp;
				tmp[pos] = c[i];
				ans = max(ans, pos);
				f[i] = pos;
			}
			v[f[i]].push_back(i);
		}
		v[0].push_back(0);
		return ans;
	}
	inline ll x(const int i)
	{
		return i - a[i];
	}
	inline ll y(const int i)
	{
		return dp[i] - (ll)(i + 1) * a[i] + (ll)i * (i + 1) / 2;
	}
	inline ld ratio(const int i, const int j)
	{
		if (x(i) == x(j))
			return y(i) < y(j) ? -LINF : LINF;
		else
			return (ld)(y(i) - y(j)) / (x(i) - x(j));
	}
	struct node
	{
		int pos;
		bool type;
		bool operator < (const node &b) const
		{
			return pos < b.pos;
		}
	}arr[N];
	const int CHANGE = 0, QUERY = 1;
	void CDQ(const int l, const int r)
	{
		if (l == r)
			return;
		int mid = (l + r) >> 1, i = l, j = mid + 1, k = l;
		static node tmp[N];
		static int st[N];
		CDQ(l, mid), CDQ(mid + 1, r);
		int top = 0;
		while (i <= mid && j <= r)
		{
			if (x(arr[i].pos) >= x(arr[j].pos))
			{
				if (arr[i].type == CHANGE)
				{
					while (top > 1 && ratio(st[top - 2], st[top - 1]) < ratio(st[top - 1], arr[i].pos))
						--top;
					st[top++] = arr[i].pos;
				}
				tmp[k++] = arr[i++];
			}
			else
			{
				if (arr[j].type == QUERY && top)
				{
					int l = 0, r = top - 2, ans = top - 1;
					while (l <= r)
					{
						int mid = (l + r) >> 1;
						if (ratio(st[mid], st[mid + 1]) < arr[j].pos)
							r = mid - 1, ans = mid;
						else
							l = mid + 1;
					}
					dp[arr[j].pos] = min(dp[arr[j].pos], 
						dp[st[ans]] + 
						(ll)((a[st[ans]] << 1) + arr[j].pos - st[ans]) * (arr[j].pos - st[ans] - 1) / 2
					   		+ a[arr[j].pos] + b[arr[j].pos]);
				}
				tmp[k++] = arr[j++];
			}
		}
		while (i <= mid)
			tmp[k++] = arr[i++];
		while (j <= r)
		{
			if (arr[j].type == QUERY && top)
			{
				int l = 0, r = top - 2, ans = top - 1;
				while (l <= r)
				{
					int mid = (l + r) >> 1;
					if (ratio(st[mid], st[mid + 1]) < arr[j].pos)
						r = mid - 1, ans = mid;
					else
						l = mid + 1;
				}
				dp[arr[j].pos] = min(dp[arr[j].pos], 
					dp[st[ans]] + 
					(ll)((a[st[ans]] << 1) + arr[j].pos - st[ans]) * (arr[j].pos - st[ans] - 1) / 2
				   		+ a[arr[j].pos] + b[arr[j].pos]);
			}
			tmp[k++] = arr[j++];
		}
		memcpy(arr + l, tmp + l, sizeof(node[r - l + 1]));
	}
	int work()
	{
		read(n);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			read(a[i]), c[i] = a[i] - i;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			read(b[i]);
		a[++n] = INF;
		c[n] = INF;
		int ans = solve();
		write(ans - 1), putchar(' ');
		memset(dp, INF, sizeof(ll[n + 1]));
		dp[0] = 0;
		for (int i = 1; i <= ans; i++)
		{
			int cnt = 0;
			for (int j = 0; j < v[i - 1].size(); j++)
				if (dp[v[i - 1][j]] < LINF)
					arr[++cnt] = (node){v[i - 1][j], CHANGE};
			for (int j = 0; j < v[i].size(); j++)
				arr[++cnt] = (node){v[i][j], QUERY};
			sort(arr + 1, arr + cnt + 1);
			CDQ(1, cnt);
		}
		write(dp[n] - a[n] - b[n]);
		return 0;
	}
}
int main()
{
	return zyt::work();
}