【BZOJ1939】[Croatian2010] Zuma（动态规划）

最新推荐文章于 2021-07-01 23:08:51 发布

Inspector_Javert

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分类专栏：动态规划

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博客介绍了如何使用动态规划解决BZOJ1939（Zuma）问题，讨论了状态定义和转移方程，包括三个关键的转移：c=k-1的状态代表、在前面插入同色弹子以及找一个相邻的同色弹子消去部分区间。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

BZOJ1939（权限题）

分析：

这题很容易看出是DP，但是状态和转移都不是很好想……

用 $d p [l] [r] [c]$ 表示在 $l$ 前面已经新加了 $c$ 个和 $l$ 一样的弹子时，使区间 $[l, r]$ 消完所需插入的弹子数量
显然，当 $c\geq k-1$ 时，这 $c$ 个弹子和 $l$ 组成了连续的至少 $k$ 个弹子，这些情况是类似的（都可以一次消完）。因此可以用 $c = k - 1$ 的状态代表所有 $c\geq k-1$ 的状态。
对于状态 $(l, r, k - 1)$ ， $l$ 可以和前面 $k - 1$ 个同色弹子一起消掉，因此只需要考虑要插入多少个才能完全消掉区间 $[l + 1, r]$ 。这就得到第一个转移：（因为 $[l + 1, r]$ 紧贴着 $l$ ， $l + 1$ 左侧没有新插入的弹子，所以消掉 $[l + 1, r]$ 所需插入的弹子数就是 $d p [l + 1] [r] [0]$ ）

$d p [l] [r] [k - 1] = d p [l + 1] [r] [0]$

对于状态 $(l, r, c)$ ，在前面插入一个 $l$ 的同色弹子就变成了 $(l, r, c + 1)$ ，所以比消完 $(l, r, c + 1)$ 状态多一步，即：
$d p [l] [r] [c] = d p [l] [r] [c + 1] + 1$

考虑对于弹子 $l$ ，除了在它前面加 $(k - 1)$ 个同色弹子外，还可以找一个弹子 $i(i>l,a_l=a_i)$ ，先消去区间 $[l + 1, i - 1]$ （该区间可能不存在），这样 $i$ 左侧就有 $(c + 1)$ 个同色弹子，这就是状态 $(i, r, c + 1)$ 。由此得到第三个转移：（注意特判 $l + 1 = i$ 时状态 $(l + 1, i - 1, 0)$ 不存在，以及 $c+1\geq k$ 时取 $c = k - 1$ ）
$dp[l][r][c]=dp[l+1][i-1][0]+dp[i][r][c+1](l+1\leq i-1)$
$d p [l] [r] [c] = d p [i] [r] [c + 1] (l + 1 = i)$

代码：

有了DP方程以后代码还是很好写的

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
namespace zyt
{
	const int N = 110, K = 7;
	int arr[N], dp[N][N][K];
	int work()
	{
		int n, k;
		ios::sync_with_stdio(false);
		cin.tie(0);
		cin >> n >> k;
		for (int i = 0; i < n; i++)
			cin >> arr[i];
		for (int i = 0; i < n; i++)
			for (int c = 0; c < k; c++)
				dp[i][i][c] = k - c - 1;
		for (int len = 2; len <= n; len++)
			for (int l = 0; l + len - 1 < n; l++)
			{
				int r = l + len - 1;
				for (int c = k - 1; c >= 0; c--)
				{
					if (c < k - 1)
						dp[l][r][c] = dp[l][r][c + 1] + 1;
					else
						dp[l][r][c] = dp[l + 1][r][0];
					if (arr[l] == arr[l + 1])
						dp[l][r][c] = min(dp[l][r][c], dp[l + 1][r][min(k - 1, c + 1)]);
					for (int i = l + 2; i <= r; i++)
						if (arr[l] == arr[i])
							dp[l][r][c] = min(dp[l][r][c], dp[l + 1][i - 1][0] + dp[i][r][min(k - 1, c + 1)]);
				}
			}
		cout << dp[0][n - 1][0];
		return 0;
	}
}
int main()
{
	return zyt::work();
}